Question

Кирилл взял и пронумеровал все страницы своего ежедневника: 1, 2, и т.д. Для этого ему потребовалось всего 249 цифр. Сколько страниц было в ежедневнике?

Answer 1

Кирилл взял и пронумеровал все страницы своего ежедневника: 1, 2, и т.д. Для этого ему потребовалось всего 249 цифр. Сколько страниц было в ежедневнике?

9 страниц по 1 цифре (1-9)

249 - 9 = 240 - количество страниц, не учитывая первые 9

Допусти, что в ежедневнике 90 страниц, которые в нумерации содержат две цифры (10 - 99)

90 * 2 = 180

240 - 180 = 60

Остается ещё 60 цифр, а значит наше предыдущее предположение верно.

60 : 3 = 20 (20 страниц с трехзначным обозначение их номеров)

99 + 20 = 119 страниц

Ответ: 119 страниц

Answer 2

Предположим, что количество страниц в ежедневнике равно N.

Количество цифр, необходимых для пронумерования N страниц, можно выразить как сумму длин всех чисел от 1 до N.

Длина числа можно определить как количество цифр в числе. Например, число 10 имеет длину 2, число 100 имеет длину 3 и так далее.

Таким образом, мы можем сформулировать следующее уравнение:

длина(1) + длина(2) + длина(3) + ... + длина(N) = 249

Мы знаем, что длина числа равна его логарифму по основанию 10, округленному до ближайшего целого числа.

Таким образом, уравнение можно переписать следующим образом:

log(1) + log(2) + log(3) + ... + log(N) = 249

Определим N, перебирая возможные значения, начиная с N = 1, и проверяя, когда сумма логарифмов равна 249.

Однако данная операция может быть трудоемкой и затратной с точки зрения вычислений. Поэтому, чтобы упростить решение, можно воспользоваться приближенными методами.

Применим формулу Стирлинга для приближенного вычисления суммы логарифмов:

log(N!) ≈ N * log(N) - N

Используем эту формулу:

N * log(N) - N = 249

Теперь мы можем численно решить это уравнение для N. Давайте решим его:

N * log(N) - N = 249

N * log(N) - N - 249 = 0

Применим численные методы для решения этого уравнения, например, метод бисекции или метод Ньютона, чтобы найти приближенное значение N.

После вычисления полученного значения N, мы можем округлить его до ближайшего целого числа, так как число страниц должно быть целым.

Итак, применяя методы численного решения, мы можем определить количество страниц в ежедневнике Кирилла.