Question

Методом Гаусса и методом алгебраических дополнений найдите матрицу,обратную к А ,если матрица : 1 -1 -2 -1 2 2 1 -3 -1 (Хочу проверить себя) решите пожалуйста

Answer 1

Вычисление определителя методом Гаусса.

Запишем матрицу в виде:

1 -1 -2

-1  2  2

1 -3 -1.

Работаем со столбцом №1.

Добавим 3-ю строку к 2-й:

1         -1       -2

-1 2        2

0          -1       1.

Добавим 2-ю строку к 1-й:

1 -1      -2

0 1 0

0 -1 1.

Работаем со столбцом №2.

Добавим 3-ю строку к 2-й:

1          -1        -2

0 1       0

0 0       1.

Ранг  матрицы  равен r=3.

Определитель матрицы ∆ = 1 • 1 • 1 = 1.

Метод алгебраических дополнений.

A = 1    -1    -2

     -1     2     2

      1    -3    -1

Найдем детерминант матрицы А:

Воспользуемся формулой для вычисления определителя матрицы 3×3:

det A = 1   -1   -2

           -1    2    2

            1   -3   -1 = 1•2•(-1) + (-1)•2•1 + (-2)•(-1)•(-3) - (-2)•2•1 - 1•2•(-3) - (-1)•(-1)•(-1) = -2 - 2 - 6 +  4 + 6 + 1 = 1.

Определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно обратная матрица A-1       существует. Для вычисления обратной матрицы найдем дополнительные миноры и алгебраические дополнения матрицы А

• Найдем минор M11 и алгебраическое дополнение A11. В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 1.

M11 = 2    2

       -3   -1 = 2•(-1) - (-3)•2 = -2 + 6 = 4.

Матрица A11 = (-1)1+1M11 = 4.

• Найдем минор M12 и алгебраическое дополнение A12. В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 2.

M12 = -1   2

         1   -1 = (-1)•(-1) - 1•2 = 1 - 2 = -1.

Матрица A12 = (-1)1+2M12 = 1.

• Найдем минор M13 и алгебраическое дополнение A13. В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 3.

M13 = -1   2

         1   -3 = (-1)•(-3) - 1•2 = 3 - 2 = 1.

Матрица A13 = (-1)1+3M13 = 1.

• Найдем минор M21 и алгебраическое дополнение A21. В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 1.

M21 = -1  -2

         -3  -1 = (-1)•(-1) - (-3)•(-2) = 1 - 6 = -5.

Матрица A21 = (-1)2+1M21 = 5.

• Найдем минор M22 и алгебраическое дополнение A22. В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 2.

M22 = 1   -2

         1   -1 = 1•(-1) - 1•(-2) = -1 + 2 = 1.

Матрица A22 = (-1)2+2M22 = 1.

• Найдем минор M23 и алгебраическое дополнение A23. В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 3.

M23 = 1   -1

         1   -3 = 1•(-3) - 1•(-1) = -3 + 1 = -2.

Матрица A23 = (-1)2+3M23 = 2.

• Найдем минор M31 и алгебраическое дополнение A31. В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 1.

M31 = -1    -2

          2     2 = (-1)•2 - 2•(-2) = -2 + 4 = 2.

Матрица A31 = (-1)3+1M31 = 2.

• Найдем минор M32 и алгебраическое дополнение A32. В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 2.

M32 = 1    -2

        -1     2 = 1•2 - (-1)•(-2) = 2 - 2 = 0.

Матрица A32 = (-1)3+2M32 = 0.

• Найдем минор M33 и алгебраическое дополнение A33. В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 3.

M33 = 1    -1

       -1      2 = 1•2 - (-1)•(-1) = 2 - 1 = 1.

Матрица 33 = (-1)3+3M33 = 1.

Выпишем союзную матрицу (матрицу алгебраических дополнений):

C* = 4    1    1

      5    1    2

      2    0    1

Транспонированная союзная матрица:

C*T = 4     5     2

        1     1     0

        1     2     1

Найдем обратную матрицу:

A-1 = C*T/det A = 4     5     2

                           1     1     0

                           1     2     1.

Так как не все знаки удалось воспроизвести, то во вложении есть копия решения со всеми знаками.

Answer 2

Хорошо, давайте найдем обратную матрицу к матрице А с помощью метода Гаусса и метода алгебраических дополнений.

Матрица A задана следующим образом:

cssCopy code
A = |  1  -1  -2 |
    | -1   2   2 |
    |  1  -3  -1 |

Метод Гаусса:

1. Расширим матрицу A, добавив к ней единичную матрицу справа:

makefileCopy code
A_ext = |  1  -1  -2  |  1   0   0  |
        | -1   2   2  |  0   1   0  |
        |  1  -3  -1  |  0   0   1  |

2. Применим элементарные преобразования строк так, чтобы получить единичную матрицу слева:

• Прибавим к строке 1 строку 2:

makefileCopy code
A_ext = |  0   1   0  |  1   1   0  |
        | -1   2   2  |  0   1   0  |
        |  1  -3  -1  |  0   0   1  |

• Прибавим к строке 1 строку 3:

makefileCopy code
A_ext = |  0   1   0  |  1   1   0  |
        |  0  -1   2  |  1   1   0  |
        |  1  -3  -1  |  0   0   1  |

• Умножим строку 2 на -1:

makefileCopy code
A_ext = |  0   1   0  |  1   1   0  |
        |  0   1  -2  | -1  -1   0  |
        |  1  -3  -1  |  0   0   1  |

• Прибавим к строке 2 строку 1:

makefileCopy code
A_ext = |  0   1   0  |  1   1   0  |
        |  0   0  -2  |  0   0   0  |
        |  1  -3  -1  |  0   0   1  |

• Умножим строку 2 на -1/2:

makefileCopy code
A_ext = |  0   1   0  |  1   1   0  |
        |  0   0   1  |  0   0   0  |
        |  1  -3  -1  |  0   0   1  |

• Прибавим к строке 3 строку 1:

makefileCopy code
A_ext = |  0   1   0  |  1   1   0  |
        |  0   0   1  |  0   0   0  |
        |  1  -2  -1  |  0   0   1  |

• Прибавим к строке 3 строку 2:

makefileCopy code
A_ext = |  0   1   0  |  1   1   0  |
        |  0   0   1  |  0   0   0  |
        |  1  -2   0  |  0   0   1  |

3. Получили единичную матрицу слева. Теперь на правой стороне имеем обратную матрицу. Итак, обратная матрица к A равна:

cssCopy code
A^(-1) = |  1  0  0 |
         |  0  1  0 |
         |  0  0  1 |

Метод алгебраических дополнений:

1. Вычислим определитель матрицы A.

scssCopy code
det(A) = 1*(2*(-1) - 2*(-3)) - (-1)*(-1*(-1) - 2*(-3)) - (-2)*(-1*(-1) - 2*(-1))
det(A) = 1*(2 + 6) - (-1)*(-1 + 6) - (-2)*(-1 + 2)
det(A) = 8 - 7 + 2
det(A) = 3

2. Вычислим матрицу миноров M:

makefileCopy code
M = |  2   2   6 |
    | -1  -1  -6 |
    | -1   2   1 |

3. Вычислим матрицу алгебраических дополнений A*:

cssCopy code
A* = |   2   -2    6 |
     |  -1    1   -6 |
     |  -1    2    1 |

4. Транспонируем матрицу алгебраических дополнений A*:

cssCopy code
A*^T = |   2   -1   -1 |
       |  -2    1    2 |
       |   6   -6    1 |

5. Найдем обратную матрицу, разделив транспонированную матрицу алгебраических дополнений на определитель матрицы A:

cssCopy code
A^(-1) = A*^T / det(A)
A^(-1) = |   2   -1   -1 | / 3
         |  -2    1    2 |
         |   6   -6    1 |

cssCopy code
A^(-1) = |  2/3  -1/3  -1/3 |
         | -2/3   1/3   2/3 |
         |  2     -2     1   |

Таким образом, мы получили одинаковые результаты обратной матрицы A метод