Question

Доказать, что при любом простом p > 3 значение многочлена p^5-10p^3+105p делится на 96.

Answer 1

$p^5-10p^3+105p=p(p^4-10p^2+9)+96p=p(p^2-9)(p^2-1)+96p=p(p-3)(p-1)(p+1)(p+3)+96p=(*)$

Любое простое число, большее 3, нечетно. Тогда

$p=2q+1\\ (*) =(2q+1)(2q-2)2q(2q+2)(2q+4)+96(2q+1)=16(2q+1)(q-1)q(q+1)(q+2)+96(2q+1)$

Среди двух последовательных натуральных чисел ровно одно кратно 2.

Среди трех последовательных натуральных чисел ровно одно кратно 3.

Тогда $q(q+1)(q+2)$ делится на 2 и на 3. Значит $q(q+1)(q+2)$ кратно 6.

Значит $16(2q+1)(q-1)q(q+1)(q+2)$ кратно 16*6=96

$96(2q+1)$ кратно 96.

Тогда и их сумма кратна 96. А значит значение многочлена делится на 96 для любого простого значения переменной, большего 3.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, мы можем воспользоваться теорией остатков и арифметикой модулей.

Для любого простого числа $p > 3$, вычислим значение многочлена $p^5 - 10p^3 + 105p$: $f(p) = p^5 - 10p^3 + 105p.$

Мы хотим показать, что $f(p)$ делится на 96. Для этого необходимо показать, что $f(p)$ имеет остаток 0 при делении на 96.

Мы знаем, что 96 разлагается на простые множители: $96 = 2^5 \cdot 3$.

Докажем утверждение по частям:

1. $f(p)$ делится на $p^5$ при делении на 32: $p^5 \equiv 0 \pmod{32}.$

2. $f(p)$ делится на $10p^3$ при делении на 32: $10p^3 \equiv 0 \pmod{32}.$

3. $f(p)$ делится на $105p$ при делении на 96: $105p \equiv 0 \pmod{96}.$

Теперь объединим эти результаты. Используем конгруэнтность в арифметике остатков:

$f(p) \equiv (p^5 - 10p^3 + 105p) \equiv 0 + 0 + 0 \equiv 0 \pmod{96}.$

Таким образом, при любом простом $p > 3$, многочлен $p^5 - 10p^3 + 105p$ делится на 96.