Question

Найти производную от y=корень из 2x+1Y=корень2x-1/корень2x

Answer 1

$1)\; \; y=\sqrt{2x+1}\\\\(\sqrt{u})'=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u'\; \; ,\; \; u=2x+1\\\\y'=\frac{1}{2\sqrt{2x+1}}\cdot 2=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}\\\\\\2)\; \; y=\frac{\sqrt{2x-1}}{2x}\; \; ,\; \; (\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\\\\y'=\frac{\frac{2}{2\sqrt{2x-1}}\cdot 2x-\sqrt{2x-1}\cdot 2}{4x^2}=\frac{2x-2(2x-1)}{4x^2\cdot \sqrt{2x-1}}=\frac{1-x}{2x^2\cdot \sqrt{2x-1}}$

Answer 2

Для нахождения производных функций, нам нужно воспользоваться правилами дифференцирования. Давайте найдем производную каждой из данных функций.

1. Первая функция: y = √(2x + 1)

Для нахождения производной этой функции, воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (chain rule).

Правило chain rule: Если y = f(g(x)), то y' = f'(g(x)) * g'(x).

В нашем случае f(u) = √u, а g(x) = 2x + 1.

Тогда производная f'(u) = (1/2) * u^(-1/2), и производная g'(x) = 2.

Теперь применим chain rule:

y' = f'(g(x)) * g'(x) = (1/2) * (2x + 1)^(-1/2) * 2

Таким образом, производная функции y по x равна:

y' = 2 / √(2x + 1)

2. Вторая функция: Y = √(2x - 1) / √(2x)

Для нахождения производной этой функции, также воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (chain rule).

Пусть f(v) = √v и g(x) = 2x - 1.

Тогда производная f'(v) = (1/2) * v^(-1/2) и производная g'(x) = 2.

Применим chain rule:

Y' = (f'(g(x)) * g'(x)) / (√(2x)) = ((1/2) * (2x - 1)^(-1/2) * 2) / (√(2x))

Таким образом, производная функции Y по x равна:

Y' = (2 / √(2x - 1)) / (√(2x))

Для удобства, можно объединить знаменатели:

Y' = 2 / (√(2x) * √(2x - 1))