Question

Найдите площадь фигуры ограниченной линиями: y=1/x,x+2y=4

Answer 1

$OTBET:2\sqrt{2}+ln(\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} )$

Пошаговое объяснение:

Изображение фигуры, которую нужно найти, во вложении.

Найдём абсциссы точек пересечения графиков функций:

$\frac{1}{x}=-\frac{x}{2}+2\\ \\ \frac{2}{2x}=-\frac{x^2}{2x}+\frac{4x}{2x} \\ \\ \frac{2+x^2-4x}{2x}=0 \\ \\ x\neq 0\\ \\ x^2-4x+2=0\\ \\ D=(-4)^2-4\cdot1\cdot2=8\\ \\ \sqrt{D}=\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}\\ \\ x_1=\frac{4-2\sqrt{2} }{2}=2-\sqrt{2} \\ \\ x_2=\frac{4+2\sqrt{2} }{2}=2+\sqrt{2}$

Это будут границы интегрирования.

Так как линейная функция выше, чем ветвь гипербола (в рассматриваемом промежутке), то для нахождения площади будем последнюю вычитать, то есть:

$S_{uck.}=\int\limits^{2+\sqrt{2} }_{2-\sqrt{2}} {(-\frac{x}{2} +2-\frac{1}{x}) } \, dx =(-\frac{x^2}{4}+2x-ln|x|) \Bigg|^{2+\sqrt{2} }_{2-\sqrt{2}} =\\ \\ \\ =(-\frac{(2+\sqrt{2})^2}{4}+2(2+\sqrt{2})-ln|2+\sqrt{2}|)-(-\frac{(2-\sqrt{2})^2}{4}+2(2-\sqrt{2})-ln|2-\sqrt{2}|)=\\ \\ \\ =-\frac{(2+\sqrt{2})^2}{4}+4+2\sqrt{2}-ln(2+\sqrt{2})+\frac{(2-\sqrt{2})^2}{4}-4+2\sqrt{2}+ln(2-\sqrt{2})=\\ \\ \\ =4\sqrt{2}+\frac{(2-\sqrt{2})^2-(2+\sqrt{2})^2}{4}+ln(2-\sqrt{2})-ln(2+\sqrt{2})=$

$=4\sqrt{2}+\frac{(2-\sqrt{2}-2-\sqrt{2} )(2-\sqrt{2}+2+\sqrt{2} )}{4}+ln(\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} )=4\sqrt{2}+\frac{-2\sqrt{2}\cdot4}{4}+ln(\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} )=\\ \\ \\ =4\sqrt{2}-2\sqrt{2}+ln(\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} )=2\sqrt{2}+ln(\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} )$

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = 1/x и x + 2y = 4, нужно сначала найти точки их пересечения.

1. Найдем точку пересечения линий: Подставим y из первого уравнения во второе: x + 2 * (1/x) = 4 Умножим обе части уравнения на x, чтобы избавиться от знаменателя: x^2 + 2 = 4x Перенесем все члены уравнения в одну сторону: x^2 - 4x + 2 = 0

   Теперь решим квадратное уравнение. Применяя квадратную формулу: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -4 и c = 2:

   x = (4 ± √((-4)^2 - 4 * 1 * 2)) / 2 * 1 x = (4 ± √(16 - 8)) / 2 x = (4 ± √8) / 2 x = (4 ± 2√2) / 2 x = 2 ± √2

   Таким образом, получаем две точки пересечения: (2 + √2, ...) и (2 - √2, ...).

2. Теперь нам нужно найти соответствующие значения y для каждой точки пересечения. Подставим x в первое уравнение, чтобы найти y: y = 1 / (2 + √2) и y = 1 / (2 - √2).

3. Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями, нужно вычислить определенный интеграл функции y = 1/x на интервале [2 - √2, 2 + √2], а затем вычислить площадь прямоугольника, образованного этими линиями и осью x.

Площадь под графиком функции y = 1/x на интервале [a, b] вычисляется следующим образом: ∫(от a до b) (1/x) dx

Итак, площадь фигуры равна: Площадь = ∫(от 2 - √2 до 2 + √2) (1/x) dx + Площадь прямоугольника

Вычислим первое слагаемое: ∫(от 2 - √2 до 2 + √2) (1/x) dx = [ln|x|] (от 2 - √2 до 2 + √2) = [ln|2 + √2|] - [ln|2 - √2|]

Теперь вычислим площадь прямоугольника: Длина прямоугольника = (2 + √2) - (2 - √2) = 2√2 Ширина прямоугольника = (1 / (2 + √2)) - (1 / (2 - √2))

Теперь умножим длину на ширину, чтобы найти площадь прямоугольника.

После всех вычислений получим окончательное значение площади фигуры, ограниченной этими двумя линиями.