Question

Решите уравнение sqrt(x-2sqrt(x-1)) + srqt(x+3-4sqrt(x-1))=1

Answer 1

$></p> <p>Заметим, что если x ≥ 1 - ОДЗ для корня - и если первый модуль раскрыть со знаком +, а второй - со знаком -, то получим следующее:</p> <p><img src=$

Т.е. для равенства левой и правой частей достаточно того, чтобы первый модуль раскрывался с плюсом (подмодульное выражение ≥ 0), а второй - со знаком минус (подмодульное выражение ≤ 0). Оба условия объединяем в систему:

$\left \{ {{\sqrt{x-1}-1\geq 0} \atop {\sqrt{x-1}-2\leq 0;}} \right. \left \{ {{\sqrt{x-1}\geq 1} \atop {\sqrt{x-1}\leq2}} \right. \left \{ {{x-1\geq 1} \atop {x-1\leq4}} \right. \left \{ {{x\geq 2} \atop {x\leq5}} \right.$

Решение системы - $x\in[2;5]$. Соответсвенно весь этот отрезок - с учетом того, что он удовлетворяет ОДЗ - является решением уравнения.

ОТВЕТ: [2; 5]

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте приступим к его пошаговому решению:

1. Введем замену: обозначим sqrt(x-1) за t. Тогда уравнение примет вид: sqrt(t - 1) + sqrt(t^2 + 3 - 4t) = 1

2. Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней: (sqrt(t - 1) + sqrt(t^2 + 3 - 4t))^2 = 1^2 t - 1 + 2 * sqrt(t^2 + 3 - 4t) + t^2 + 3 - 4t = 1

3. Упростим уравнение: t^2 - 4t + 2 * sqrt(t^2 + 3 - 4t) + 2 = 0

4. Выразим подкоренное выражение: 2 * sqrt(t^2 + 3 - 4t) = -t^2 + 4t - 2

5. Разделим обе части уравнения на 2: sqrt(t^2 + 3 - 4t) = (-t^2 + 4t - 2) / 2 sqrt(t^2 + 3 - 4t) = -0.5t^2 + 2t - 1

6. Возводим обе части уравнения в квадрат для избавления от корня: t^2 + 3 - 4t = 0.25t^4 - 2t^3 + 5t^2 - 4t + 1

7. Переносим все члены в левую часть уравнения: 0.25t^4 - 2t^3 + 5t^2 - 4t + 1 - t^2 - 3 + 4t = 0

8. Упростим уравнение: 0.25t^4 - 2t^3 + 4t^2 + 1 = 0

9. Домножим обе части уравнения на 4 для избавления от дроби: t^4 - 8t^3 + 16t^2 + 4 = 0

10. Разделим все члены уравнения на t^2: t^2 - 8t + 16 + 4 / t^2 = 0

11. Обозначим q = t + 4 / t: Тогда уравнение примет вид: q^2 - 8q + 16 = 0

12. Решим полученное квадратное уравнение: (q - 4)^2 = 0 q - 4 = 0 q = 4

13. Вернемся к нашей замене: q = t + 4 / t Заменим q обратно: t + 4 / t = 4

14. Переносим все в левую часть уравнения: t + 4 / t - 4 = 0

15. Приведем выражение к общему знаменателю: (t^2 + 4 - 4t) / t = 0

16. Упростим числитель: (t^2 - 4t + 4) / t = 0

17. Разделим на t: t^2 - 4t + 4 = 0

18. Решим квадратное уравнение: (t - 2)^2 = 0 t - 2 = 0 t = 2

Теперь вернемся к исходной переменной x: sqrt(x - 1) = 2

Возводим обе части уравнения в квадрат: x - 1 = 4

Теперь решим это уравнение для x: x = 5

Таким образом, корень уравнения sqrt(x - 2sqrt(x - 1)) + sqrt(x + 3 - 4sqrt(x - 1)) = 1 равен x = 5.