Question

Показать, что если порядок группы четное число, то в группе есть элемент порядка 2.​

Answer 1

Допустим, что в группе нет элемента порядка 2.

По определению группы G имеем:

1) $\exists1_G\; \forall v\in G: \;1_G*v=v*1_G=v$. В группе нет элемента порядка 2 => ни один элемент группы, кроме $1_G$ , не обратен себе.

2) для каждого элемента группы существует обратный. => $\forall v\in G,v\neq 1_G\;\; \exists v^{-1}\neq v:\;v*v^{-1}=v^{-1}*v=1_G$.

Но тогда порядок группы - число нечетное ( $1_G$ для себя обратный элемент). Противоречие.

А значит в группе с четным порядком существует элемент порядка 2.

Answer 2

Предположим, что порядок группы $G$ четный. Мы хотим показать, что в $G$ существует элемент порядка 2.

Рассмотрим элемент $a$ в группе $G$ и рассмотрим все его степени: $a^1, a^2, a^3, \ldots$.

Поскольку группа $G$ имеет конечный порядок, то рано или поздно должно произойти повторение в степенях элемента $a$. То есть, существуют такие натуральные числа $i$ и $j$ (где $i > j$), что $a^i = a^j$.

Рассмотрим элемент $a^{i-j}$. Применяя свойство ассоциативности, получаем:

$a^i \cdot (a^j)^{-1} = a^j \cdot (a^j)^{-1}$.

Поскольку $a^i = a^j$, то:

$a^j \cdot (a^j)^{-1} = a^j \cdot a^{-j} = e$,

где $e$ - это единичный элемент в группе $G$, а $a^{-j}$ - обратный элемент для $a^j$.

Таким образом, мы получили, что $(a^j)^{-1} = a^{-j}$ является обратным элементом для $a^j$.

Заметим, что элемент $a^{j}$ является ненулевым элементом, так как $a^i = a^j$ для некоторого положительного $i > j$.

Теперь давайте рассмотрим два случая:

1. Если $a^{j}$ имеет порядок 2, то мы уже доказали, что в группе $G$ есть элемент порядка 2.

2. Если $a^{j}$ имеет порядок, отличный от 2, то рассмотрим элемент $(a^{j})^{-1}$, который также является ненулевым элементом. По аналогии с предыдущим рассуждением, мы можем показать, что либо $(a^{j})^{-1}$ имеет порядок 2, либо существует другой ненулевой элемент $a^{k}$, который имеет порядок 2.

Продолжая этот процесс, мы либо найдем элемент порядка 2, либо рано или поздно вернемся к уже рассмотренным элементам и поймем, что они имеют порядок 2.

Таким образом, в группе $G$ всегда найдется элемент порядка 2, когда ее порядок является четным.