Question

У прямокутну трапецію з периметром P вписано коло. Знайти радіус цього кола, якщо гострий кут трапеції дорівнює a​

Answer 1

За властивістю вписаного кола в трапецію: AB + CD = AD + BC (1)

P = AB + BC + CD + AD = 2(AB + CD), звідси CD = 0,5P - AB

Розглянемо прямокутний трикутник CDH: sin α = CH / CD  ⇔  CH = CDsinα = (0,5P - AB)sinα. Зазначимо, що CH = AB, тоді

CH = 0,5Psinα - CHsinα

CH(1 + sinα) = 0,5Psinα

CH = 0,5Psinα / (1+sinα)

Оскільки CH - діаметр вписаного кола, то r = Psinα / 4(1+sinα)

Answer 2

Для визначення радіуса кола, вписаного в прямокутну трапецію, вам потрібно знати довжини її сторін та гострий кут трапеції. Давайте позначимо довжини сторін трапеції так:

a - довша основа трапеції (нижня сторона); b - коротша основа трапеції (верхня сторона); c - бічна сторона трапеції; d - інша бічна сторона трапеції.

Також, нехай "r" - це радіус вписаного кола.

Ми знаємо, що коло, вписане у трапецію, дотикається до всіх сторін трапеції. Таким чином, кожна сторона трапеції буде рівна сумі двох відрізків - відрізка, який є відрізком катета від точки дотику до центру кола, та відрізка, який є відрізком радіуса кола.

За властивостями трапеції, відстань від точки дотику до центру кола до основи трапеції буде рівна різниці довжин бічних сторін трапеції:

d - c = a - b

Також, знаємо, що сума периметрів двох прямокутних трикутників, утворених радіусом кола, довшою основою трапеції та однією з бічних сторін трапеції, буде дорівнювати периметру трапеції:

2 * r + a + c = P

Тепер маємо систему з двох рівнянь з двома невідомими (d - c = a - b та 2 * r + a + c = P), яку ми можемо вирішити для знаходження радіуса "r" вписаного кола.