Question

Найдите наименьшее значение функции y=-9-8√3pi+24√3x-48√3sinx на отрезке [0; pi/2]

Answer 1

Ответ:

-81

Пошаговое объяснение:

Если под корнями только тройки, то будет так.

Наименьшее значение будет в той точке, где производная равна 0.

y' = 24√3 - 48√3*cos x = 0

Делим все на 24√3

1 - 2cos x = 0

cos x = 1/2

x = Π/3 - единственный корень на отрезке [0; Π/2].

sin Π/3 = √3/2

y(Π/3) = -9 - 8√3*Π + 24√3*Π/3 - 48√3*√3/2 = -9 - 0 - 24*3 = -81

Answer 2

Чтобы найти наименьшее значение функции на заданном отрезке, необходимо найти её критические точки внутри этого интервала и сравнить значения функции в этих точках.

Для начала найдём производную функции y по x:

y' = 24√3 - 48√3cos(x)

Затем приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

24√3 - 48√3cos(x) = 0

Разделим обе части уравнения на 24√3 и упростим:

1 - 2cos(x) = 0

2cos(x) = 1

cos(x) = 1/2

Решениями этого уравнения на заданном отрезке [0, π/2] являются x = π/3 и x = π/6.

Теперь найдём значения функции y в этих точках:

y(π/3) = -9 - 8√3π + 24√3(π/3) - 48√3sin(π/3) = -9 - 8√3π + 24√3 - 48√3(√3/2) = -9 - 8√3π + 24√3 - 72 = -57 - 8√3π + 24√3

y(π/6) = -9 - 8√3π + 24√3(π/6) - 48√3sin(π/6) = -9 - 8√3π + 12√3 - 48√3(1/2) = -9 - 8√3π + 12√3 - 24√3 = -21 - 8√3π

Сравним значения y(π/3) и y(π/6) и выберем наименьшее из них:

-57 - 8√3π + 24√3 < -21 - 8√3π

Наименьшее значение функции на отрезке [0, π/2] равно -57 - 8√3π + 24√3.