Question

Число 2020 таково что сумма обратных к его ненулевым цифрам равна единице. Сколько натуральных чисел меньше него обладают тем же свойством? Необходимо доказательство того, что других чисел нет. Очень прошу, пожалуйста!

Answer 1

ненулевые числа 2

обратное число к числу 2 будет 1/2

значит сумма s=1/2+1/2=1

тем же свойством обладают числа

2002

202

220

22

Answer 2

Давайте разберемся в задаче. Нам дано число 2020, и мы ищем другие натуральные числа, у которых сумма обратных значений их ненулевых цифр равна единице.

Давайте выразим это условие формально. Пусть у нас есть натуральное число N с цифрами a, b, c, d. Тогда условие задачи можно записать следующим образом:

1/a + 1/b + 1/c + 1/d = 1

Теперь давайте рассмотрим, какие значения могут быть у этих цифр. Обратите внимание, что 1/x должно быть положительным числом, поэтому x должно быть больше 1.

Исходя из этого, возможные значения для каждой из цифр a, b, c, d, равны: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Теперь нам нужно найти все комбинации из этих чисел, которые удовлетворяют условию 1/a + 1/b + 1/c + 1/d = 1.

Один из способов решения этой задачи - это перебрать все возможные комбинации цифр. Однако это может быть довольно трудоемким, поскольку у нас 8 возможных значений, и комбинаций может быть много.

Но, мы можем упростить задачу, заметив, что среди всех возможных комбинаций 4-х цифр, которые дают сумму обратных значений равную 1, число 2020 является наименьшим. Это можно доказать следующим образом:

Предположим, есть другое число M, которое тоже удовлетворяет условию задачи и меньше 2020. Тогда у нас есть:

1/a + 1/b + 1/c + 1/d = 1 ... (условие для числа 2020) 1/p + 1/q + 1/r + 1/s = 1 ... (условие для числа M)

Где a, b, c, d, p, q, r, s - натуральные числа от 2 до 9.

Теперь предположим, что у нас есть множество S, которое состоит из всех чисел от 2 до 9:

S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Заметим, что a, b, c, d, p, q, r, s - это все различные элементы из S, потому что они являются разными цифрами.

Теперь, чтобы оба условия выполнялись, мы можем объединить уравнения:

1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 1/p + 1/q + 1/r + 1/s = 2

Но множество S содержит 8 элементов, поэтому левая сторона уравнения должна быть как минимум 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9, что превышает 2.

Это противоречие показывает, что других чисел M, которые удовлетворяют условию задачи и меньше 2020, нет. Следовательно, число 2020 является единственным числом с таким свойством.

Таким образом, других натуральных чисел, удовлетворяющих условию задачи и меньше 2020, нет.