Question

Решите неравенства и изобразите множество их решении на коор динатной прямой:5) |x - 4| ≥ 3; 6) |x + 2| ≥ 5.​

Answer 1

5) |x - 4| ≥ 3

1. х - 4 ≥ 3
х ≥ 3 + 4
х≥ 7

2. -(х-4) ≥ 3
-х + 4 ≥ 3
-х ≥ 3 - 4
-х ≥ -1
х ≤ 1

На координатной прямой все решения равные 1 и левее 1, а также равные 7 и правее 7.


6) |x + 2| ≥ 5

1. х + 2 ≥ 5
х ≥ 5 - 2
х ≥ 3

2. -(х+2) ≥ 5
-х - 2 ≥ 5
-х ≥ 5+2
-х ≥ 7
х ≤ -7

На координатной прямой все решения равные -7 и левее -7, а также равные 3 и правее 3.

Answer 2

Чтобы решить данные неравенства и изобразить их множества решений на координатной прямой, нужно разобраться в правилах работы с модулем (абсолютной величиной). При решении неравенства с модулем, обычно используется два случая:

1. Если выражение внутри модуля (а) больше или равно нуля, тогда модуль упрощается к выражению внутри него, и мы получаем два варианта: (a ≥ 0) => |a| = a.

2. Если выражение внутри модуля (а) меньше нуля, тогда модуль меняет знак и становится равен противоположному числу, и мы получаем: (a < 0) => |a| = -a.

Теперь рассмотрим каждое неравенство по отдельности:

5. |x - 4| ≥ 3

Для начала, рассмотрим выражение внутри модуля (x - 4):

a) Если (x - 4) ≥ 0, тогда |x - 4| = x - 4. b) Если (x - 4) < 0, тогда |x - 4| = -(x - 4) = -x + 4.

Теперь разберем два случая и решим неравенство:

a) x - 4 ≥ 0: x ≥ 4 + 3 x ≥ 7

b) -x + 4 ≥ 0: -x ≥ -4 x ≤ 4

Итак, решение неравенства состоит из двух интервалов: (-∞, 4] и [7, +∞). Теперь изобразим множество решений на координатной прямой:

--------o----|------o--------> 4 7

6. |x + 2| ≥ 5

Аналогично предыдущему примеру, рассмотрим выражение внутри модуля (x + 2):

a) Если (x + 2) ≥ 0, тогда |x + 2| = x + 2. b) Если (x + 2) < 0, тогда |x + 2| = -(x + 2) = -x - 2.

Разберем два случая и решим неравенство:

a) x + 2 ≥ 0: x ≥ -2 + 5 x ≥ 3

b) -x - 2 ≥ 0: -x ≥ 2 x ≤ -2

Итак, решение неравенства состоит из двух интервалов: (-∞, -2] и [3, +∞). Теперь изобразим множество решений на координатной прямой:

------o----|------o--------> -2 3

Обратите внимание, что точки -2 и 3 входят в решение, поскольку неравенства вида ≥ (больше или равно) включают в себя равенство. Таким образом, точки -2 и 3 являются частью множества решений.