Question

Y=4x^2-x^4-3 исследовать функцию ​

Answer 1

Ответ: точки экстремума:

xmax=-корень 2 и корень 2

xmin= 0

Если надо значение этих точек поставите в функцию.

Пошаговое объяснение:

1) производная: y'=8x-4x³

2) y'=0. 8x-4x³=0

x(8-4x²)=0

x=0. или x=+-корень из 2

3)от - бесконечности до -корень 2 функция возрастает.

От -корень 2 до 0 функция убывает

От 0 до корень 2 функция возрастает

От корень 2 до бесконечности функция убывает.

Answer 2

Для исследования функции Y=4x^2-x^4-3, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции: Функция определена для всех действительных значений x, так как в выражении x^2 и x^4 нет никаких ограничений на x.

2. Найти область значений функции: Функция Y=4x^2-x^4-3 является многочленом с отрицательным коэффициентом при x^4. Таким образом, при больших значениях x^4 функция будет убывать, и она не имеет ограничений сверху. Аналогично, при больших отрицательных значениях x^4 функция также не имеет ограничений снизу. Следовательно, область значений функции - все действительные числа, кроме значения -3 (это значение достигается, когда x=0).

3. Найти производную функции: Производная функции Y по переменной x вычисляется как производная каждого слагаемого: d/dx (4x^2) = 8x d/dx (-x^4) = -4x^3

Теперь найдем производную функции Y: d/dx (Y) = 8x - 4x^3

4. Найти точки экстремума: Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю: 8x - 4x^3 = 0

Факторизуем: 4x(2 - x^2) = 0

Таким образом, x=0 и x=±√2 - это точки экстремума.

5. Найти значения функции в найденных точках экстремума и значения на границах области определения (если есть): a) При x=0: Y = 4(0)^2 - (0)^4 - 3 = -3 b) При x=√2: Y = 4(√2)^2 - (√2)^4 - 3 ≈ -1.657 c) При x=-√2: Y = 4(-√2)^2 - (-√2)^4 - 3 ≈ -1.657

6. Найти пределы функции на бесконечности: a) Предел функции при x → +∞: lim (x → +∞) (4x^2 - x^4 - 3) = -∞

b) Предел функции при x → -∞: lim (x → -∞) (4x^2 - x^4 - 3) = -∞

7. Найти точки перегиба: Точки перегиба - это значения x, в которых меняется выпуклость или вогнутость функции. Для этого нужно найти вторую производную и приравнять ее к нулю:

d^2/dx^2 (8x - 4x^3) = 8 - 12x^2

Теперь приравняем к нулю:

8 - 12x^2 = 0 12x^2 = 8 x^2 = 8/12 x^2 = 2/3

Таким образом, x = ±√(2/3) - это точки перегиба.

8. Найти значения функции в найденных точках перегиба: a) При x=√(2/3): Y = 4(√(2/3))^2 - (√(2/3))^4 - 3 ≈ 0.105 b) При x=-√(2/3): Y = 4(-√(2/3))^2 - (-√(2/3))^4 - 3 ≈ 0.105

Теперь, имея все эти данные, можно нарисовать график функции, чтобы лучше понять ее поведение. На графике будут отображены точки экстремума, точки перегиба и направление выпуклости/вогнутости функции.