Question

Два игрока по очереди расставляют числа от 1 до 64 на доске 8×8. В конце игры считают сумму чисел в каждой строке. Первый игрок хочет, чтобы максимальная из таких сумм была как можно больше, а второй − чтобы она была как можно меньше. Чему будет равна сумма чисел при правильной игре обоих игроков?

Answer 1

Правильная игра первого игрока - расставлять в одну строку наибольшие числа, правильная игра второго игрока - расставлять в одну строку меньшие числа.

При правильной игре обоих они будут расставлять числа в одну и ту же строку.

Тогда первый поставит в первую строку числа 64, 63, 62 и 61, второй - числа 1, 2, 3 и 4. Сумма чисел в строке будет 260.

Во вторую строку первый поставит числа 60, 59, 58 и 57, второй - 5, 6, 7 и 8. Сумма чисел в строке будет 260.

И так далее. Сумма чисел в каждой строке будет равна 260.

Answer 2

Данная задача является классическим примером игры с нулевой суммой. Для определения оптимальной стратегии игры, нужно рассмотреть ситуации с различными начальными ходами и определить, какие ходы являются оптимальными в каждой из них.

Оптимальная стратегия для первого игрока (максимизация суммы) заключается в том, чтобы размещать числа в каждой строке так, чтобы максимизировать сумму в каждой строке. Для этого первый игрок будет ставить наименьшие доступные числа в каждой строке.

Оптимальная стратегия для второго игрока (минимизация суммы) заключается в том, чтобы размещать числа в каждой строке так, чтобы минимизировать сумму в каждой строке. Для этого второй игрок будет ставить наибольшие доступные числа в каждой строке.

Теперь рассмотрим, как будет выглядеть игра с оптимальными ходами обоих игроков:

1. Первый игрок размещает число 1 в любой из клеток.
2. Второй игрок размещает число 64 в одной из клеток так, чтобы минимизировать сумму в этой строке.
3. Первый игрок размещает число 2 в другой строке, опять выбирая так, чтобы максимизировать сумму в этой строке.
4. Второй игрок размещает число 63 в одной из клеток так, чтобы минимизировать сумму в этой строке.
5. И так далее...

Продолжая этот процесс, первый игрок всегда будет выбирать наименьшее доступное число, а второй игрок будет выбирать наибольшее доступное число, чтобы минимизировать сумму в каждой строке.

В итоге сумма чисел на доске будет равна: 1 + 64 + 2 + 63 + 3 + 62 + ... + 32 + 33 + 31 = 2112

При такой оптимальной игре обоих игроков сумма чисел на доске составит 2112.