Question

Прямоугольник состоит из клеток со стороной 1. Некоторые из клеток закраше ны. Оказалось, что закрашенных клеток в каждой строке ровно 5, а в каждомстолбце - ровно 6. Чему может быть равна площадь такого прямоугольника?(А) 96 (Б) 100 (В) 108(0) 115 (Д) 120​

Answer 1

Рассмотрим наименьший такой прямоугольник. Это прямоугольник из 6 строк и 5 столбцов, в котором все клетки закрашены. Площадь его равна 30.

Если мы захотим добавить еще одну строку, то в ней также надо будет закрасить 5 клеток, но тогда во всех столбцах уже окажется закрашенными более 6 клеток. Значит, нам придется добавить еще 5 столбцов, в каждом из которых мы будем закрашивать клетки этой строки. Мало того, нам придется добавить еще 5 строк, чтобы выполнить условие о том, что во всех столбцах ровно 6 закрашенных клеток, а значит докрасить клетки, соответствующие столбцам из ранее добавленной строки. В результате число строк и число столбцов удвоилось, а площадь увеличилась в 4 раза и стала равной 120. Закрашенные клетки впоследствии можно менять местами, придерживаясь ограничений на них, но от этого размеры прямоугольника не изменятся.

Аналогично, исходная площадь 30 может увеличиться в 9, 16, 25 и так далее раз.

В общем виде возможная площадь выражается формулой $S=30n^2, \ n\in\mathbb{N}$. Из вариантов ответов подходит лишь число 120, которое как раз и получилось при рассуждениях.

Ответ: 120

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться информацией о количестве закрашенных клеток в каждой строке и столбце.

Пусть количество строк в прямоугольнике равно N, а количество столбцов равно M.

1. Из условия задачи известно, что в каждой строке ровно 5 закрашенных клеток, а значит, всего закрашенных клеток в прямоугольнике будет 5*N.

2. Также известно, что в каждом столбце ровно 6 закрашенных клеток, а значит, всего закрашенных клеток в прямоугольнике будет 6*M.

Теперь у нас есть два выражения для количества закрашенных клеток в прямоугольнике: 5N и 6M.

Из условия задачи следует, что эти два выражения должны быть равны, т.е.:

5N = 6M

Чтобы найти все возможные значения N и M, которые удовлетворяют этому уравнению, давайте рассмотрим различные варианты.

Возможные значения для N и M могут быть такими:

N = 6, M = 5 N = 12, M = 10 N = 18, M = 15 N = 24, M = 20

Теперь найдем площади для каждого из этих прямоугольников:

1. Площадь прямоугольника при N = 6 и M = 5: Площадь = N * M = 6 * 5 = 30

2. Площадь прямоугольника при N = 12 и M = 10: Площадь = N * M = 12 * 10 = 120

3. Площадь прямоугольника при N = 18 и M = 15: Площадь = N * M = 18 * 15 = 270

4. Площадь прямоугольника при N = 24 и M = 20: Площадь = N * M = 24 * 20 = 480

Из перечисленных вариантов только 120 соответствует одному из предложенных ответов.

Ответ: (Д) 120.