Question

Помогите решить дифф.уравнения с подробным решением 1. y'-2y=3xe^2x2. y'+y=e^-x3. y' -(3/x) *y=x 4. y'-y/x+3=(x+3)cos3x5. y'=y/x+(cos^2) y/x

Answer 1

Ответ:

решение на фотографиях

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить данные дифференциальные уравнения. Давайте рассмотрим их поочередно:

1. y' - 2y = 3xe^(2x).

Данное дифференциальное уравнение является линейным уравнением первого порядка. Для его решения используем метод вариации постоянной:

Перепишем уравнение в виде: y' = 2y + 3xe^(2x).

Интегрируем обе стороны: ∫(1/y) dy = ∫(2 + 3xe^(2x)) dx.

Получаем: ln|y| = 2x + ∫(3xe^(2x)) dx.

Интегрируем ∫(3xe^(2x)) dx с помощью интегрирования по частям: ∫(3xe^(2x)) dx = (3/2)xe^(2x) - ∫(3/2)e^(2x) dx = (3/2)xe^(2x) - (3/4)e^(2x) + C,

где C - произвольная постоянная.

Теперь подставляем результат в предыдущее уравнение: ln|y| = 2x + (3/2)xe^(2x) - (3/4)e^(2x) + C.

Возведем обе стороны в e: |y| = e^(2x) * e^((3/2)xe^(2x) - (3/4)e^(2x) + C).

Так как e^C - тоже константа, перепишем выражение: |y| = Ke^(2x)e^((3/2)xe^(2x)),

где K - некоторая константа.

Используя свойство модуля, получаем два возможных решения:

1. y = Ke^(2x)e^((3/2)xe^(2x)),
2. y = -Ke^(2x)e^((3/2)xe^(2x)).

2. y' + y = e^(-x).

Данное уравнение также является линейным уравнением первого порядка. Для его решения используем метод интегрирующего множителя:

Уравнение можно переписать как: y' = -y + e^(-x).

Интегрирующий множитель равен μ(x) = e^∫(-1) dx = e^(-x).

Умножаем обе стороны уравнения на μ(x): e^(-x)y' + e^(-x)y = 1.

Теперь производим интегрирование по переменной x: ∫(e^(-x)y' + e^(-x)y) dx = ∫1 dx.

Интеграл слева легко вычисляется: e^(-x)y = x + C,

где C - произвольная постоянная.

Теперь выражаем y: y = e^(x) * (x + C).

3. y' - (3/x)y = x.

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка.