Question

На мост сброшено три авиационной бомбы с вероятностью попадания 0.7, 0.4, 0.2 соответственно. При одном попадание мост будет разрушен с вероятностью 0.5, при двух – с вероятностью 0.8, при трех – он будет точно разрушен. Найдите вероятность того, что мост будет разрушен. Ответ округлить до двух знаков после точки

Answer 1

Пусть $p_1=0.7,\ p_2=0.4,\ p_3=0.2$ - вероятности попадания бомб

Тогда, $q_1=1-p_1=0.3,\ q_2=1-p_2=0.6,\ q_3=1-p_3=0.8$ - вероятности промаха соответственно

$x_1=0.5,\ x_2=0.8,\ x_3=1$ - вероятности разрушения при 1, 2 и 3 попаданиях

Значит, в случае одного попадания мост разрушится с вероятностью:

$x_1(p_1q_2q_3+q_1p_2q_3+q_1q_2p_3)=\\=0.5\cdot(0.7\cdot0.6\cdot0.8+0.3\cdot0.4\cdot0.8+0.3\cdot0.6\cdot0.2)=0.234$

В случае двух попадания мост разрушится с вероятностью:

$x_2(p_1p_2q_3+p_1q_2p_3+q_1p_2p_3)=\\=0.8\cdot(0.7\cdot0.4\cdot0.8+0.7\cdot0.6\cdot0.2+0.3\cdot0.4\cdot0.2)=0.2656$

В случае трех попадания мост разрушится с вероятностью:

$x_3p_1p_2p_3=1\cdot0.7\cdot0.4\cdot0.2=0.056$

Все три события несовместны, поэтому общая вероятность разрушения равна сумме трех предыдущих вероятностей:

$P(A)=0.234+0.2656+0.056=0.5556\approx0.56$

Ответ: 0.56

Answer 2

Для нахождения вероятности того, что мост будет разрушен, нужно рассмотреть все возможные комбинации попадания бомб на мост и вычислить вероятность для каждой комбинации. Затем необходимо сложить вероятности разрушения моста для каждой комбинации.

Возможные комбинации попадания бомб:

1. Попадание всех трех бомб (вероятность: 0.7 * 0.4 * 0.2).
2. Попадание первых двух бомб и промах третьей (вероятность: 0.7 * 0.4 * 0.8).
3. Попадание первой и третьей бомб и промах второй (вероятность: 0.7 * 0.6 * 0.2).
4. Попадание второй и третьей бомб и промах первой (вероятность: 0.3 * 0.4 * 0.2).
5. Промах всех трех бомб (вероятность: 0.3 * 0.6 * 0.8).

Теперь, для каждой из этих комбинаций, найдем вероятность разрушения моста:

1. Вероятность разрушения моста при трех попаданиях: 1.0 (точно разрушен).
2. Вероятность разрушения моста при двух попаданиях: 0.8.
3. Вероятность разрушения моста при двух попаданиях: 0.8.
4. Вероятность разрушения моста при двух попаданиях: 0.8.
5. Вероятность разрушения моста при одном попадании: 0.5.

Теперь сложим все вероятности разрушения моста для каждой комбинации:

Вероятность разрушения моста = (0.7 * 0.4 * 0.2 * 1.0) + (0.7 * 0.4 * 0.8 * 0.8) + (0.7 * 0.6 * 0.2 * 0.8) + (0.3 * 0.4 * 0.2 * 0.8) + (0.3 * 0.6 * 0.8 * 0.5)

Рассчитаем значение:

Вероятность разрушения моста = 0.056 + 0.1792 + 0.0672 + 0.048 + 0.072 = 0.4224

Таким образом, вероятность того, что мост будет разрушен, составляет 0.4224 (или округлено до двух знаков после точки - 0.42).