Question

Найти общее решение дифференциального уравнения. 2y' - x/y = xy/((x^2)-1)

Answer 1

$2y'-\frac{x}{y}=\frac{xy}{x^2-1}\\\\y'-\frac{x}{2(x^2-1)}\cdot y=\frac{x}{2y}\\\\y=uv\; ,\; \; y'=u'v+uv'\\\\u'v+uv'-\frac{x}{2(x^2-1)}\cdot uv=\frac{x}{2uv}\\\\u'v+u\cdot (v'-\frac{x}{2(x^2-1)}\cdot v)=\frac{x}{2uv}\\\\\\a)\; \; v'-\frac{x}{2(x^2-1)}\cdot v=0\; ,\; \; \int \frac{dv}{v}=\int \frac{x\, dx}{2(x^2-1)}\; \; ,\; \; ln|v|=\frac{1}{4}\, ln|x^2-1|\; ,\\\\v=\sqrt[4]{x^2-1}$

$b)\; \; u'\cdot \sqrt[4]{x^2-1}=\frac{x}{2u\cdot \sqrt[4]{x^2-1}}\; \; ,\; \; \int u\, du=\int \frac{x\, dx}{2\sqrt{x^2-1}}\; \; ,\\\\\frac{u^2}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{x^2-1}+C^*\; \; ,\; \; u^2=\sqrt{x^2-1}+2C^*\; \; ,\\\\u=\pm \sqrt{C+\sqrt{x^2-1}}\; \; ,\; \; C=2C^*\\\\\\c)\; \; y=\pm \sqrt[4]{x^2-1}\cdot \sqrt{C+\sqrt{x^2-1}}\\\\y=\pm \sqrt[4]{(x^2-1)\cdot (C+\sqrt{x^2-1})^2}$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения с разделяющимися переменными можно выполнить следующие шаги:

1. Привести уравнение к стандартному виду для разделяющихся переменных.
2. Разделить переменные и проинтегрировать обе части уравнения.
3. Найти общее решение с учетом константы интегрирования.

Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду разделяющихся переменных.

Уравнение: 2y' - x/y = xy/((x^2)-1)

Сначала перепишем уравнение с y' на одной стороне:

2y' = x/y + xy/((x^2)-1)

Затем перенесем x/y на правую сторону:

2y' = (x^2 - xy)/((x^2)-1)

Шаг 2: Разделение переменных и интегрирование.

Разделим обе стороны уравнения на (x^2 - xy):

(2y')/((x^2 - xy)) = 1/((x^2)-1)

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения относительно соответствующих переменных:

∫((2y')/((x^2 - xy))) dy = ∫(1/((x^2)-1)) dx

Интегрирование левой части:

∫((2y')/((x^2 - xy))) dy = ∫(1/((x^2)-1)) dx

Используем метод замены переменных в левой части. Пусть u = x^2 - xy, тогда y' = du/dx.

∫(2du) = ∫(1/((x^2)-1)) dx

2u = ln(|x^2 - 1|) + C1, где C1 - произвольная постоянная интегрирования.

Шаг 3: Найти y в зависимости от x.

Теперь найдем u, подставив обратно u = x^2 - xy:

2(x^2 - xy) = ln(|x^2 - 1|) + C1

x^2 - xy = (1/2) * ln(|x^2 - 1|) + C2, где C2 = C1/2 - новая произвольная постоянная интегрирования.

Теперь решим уравнение относительно y:

y = x - (1/2) * ln(|x^2 - 1|) - C2

Итак, общее решение данного дифференциального уравнения:

y = x - (1/2) * ln(|x^2 - 1|) + C, где C - произвольная постоянная.