Question

Помогите пожалуйство очень срочно!!! Вычислить наибольшую площадь трапеции, вписанной в полукруг радиуса R так, что нижним основанием трапеции служит диаметр полукруга

Answer 1

Если трапеция вписана в окружность то она равнобедренная. $\angle ACD=90^\circ$, поскольку он опирается на диаметр окружности. Следовательно, CO - медиана прямоугольного треугольника ADC и $CO=AO=OD=R$. Тогда $AD=2R$ и пусть $BC=x$.

$FD=\dfrac{AD-BC}{2}=\dfrac{2R-x}{2}=R-\dfrac{x}{2}$

$OF=OD-FD=R-\left(R-\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{x}{2}$

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $COF$

$CF=\sqrt{R^2-\left(\dfrac{x}{2}\right)^2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{4R^2-x^2}$

Рассмотрим функцию $S(x)=\dfrac{2R+x}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\sqrt{4R^2-x^2}=\dfrac{(2R+x)\sqrt{4R^2-x^2}}{4},~~ 0\leq x\leq 2R$

$S'(x)=\dfrac{1}{4}\left(\sqrt{4R^2-x^2}+(2R+x)\cdot \dfrac{-2x}{2\sqrt{4R^2-x^2}}\right)=\\ \\ \\ =\dfrac{1}{4}\left(\sqrt{4R^2-x^2}-\dfrac{2Rx+x^2}{\sqrt{4R^2-x^2}}\right)=\dfrac{-2x^2-2Rx+4R^2}{4\sqrt{4R^2-x^2}}$

Приравниваем производную функции к нулю

$-\dfrac{2x^2+2Rx-4R^2}{4\sqrt{4R^2-x^2}}=0~~~\Rightarrow~~~ 2x^2+2Rx-4R^2=0\\ \\ \\ x^2+Rx-2R^2=0\\ \\ x^2+2Rx-Rx-2R^2=0\\ \\ x(x+2R)-R(x+2R)=0\\ \\ (x+2R)(x-R)=0$

$x_1=-2R$ — не принадлежит $x \in [0;2R]$

$x_2=R$

[0]____+____[R]____-_____[2R]

Функция на промежутке $x \in [0;R]$ возрастает, а затем на $x \in [R;2R]$ убывает, следовательно, $x=R$ - относительный максимум

$S(R)=\dfrac{(2R+R)\sqrt{4R^2-R^2}}{4}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}R^2$

Ответ: $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}R^2$

Answer 2

Хорошо, давайте рассмотрим эту задачу.

Пусть диаметр полукруга (или радиус) равен R. Пусть a и b - основания трапеции, где a - нижнее основание (совпадает с диаметром) и b - верхнее основание трапеции. Пусть h - высота трапеции.

Так как трапеция вписана в полукруг, ее вершины также лежат на окружности радиуса R.

Для максимальной площади трапеции, необходимо сделать ее равнобедренной, то есть a = b.

Таким образом, диагональ трапеции совпадает с диаметром полукруга, и она равна 2R.

По теореме Пифагора, высота h равна:

h^2 = R^2 - (b/2)^2.

Так как a = b, мы можем заменить b на a:

h^2 = R^2 - (a/2)^2.

Теперь можем выразить площадь трапеции S:

S = (a + b) * h / 2 = (a + a) * h / 2 = a * h.

Теперь заменим h^2 в формуле для S:

S = a * √(R^2 - (a/2)^2).

Для максимизации площади S, найдем максимум функции S(a) путем взятия производной и приравнивания ее к нулю:

dS/da = √(R^2 - (a/2)^2) - a^2 / √(R^2 - (a/2)^2) = 0.

Теперь решим это уравнение:

√(R^2 - (a/2)^2) = a^2 / √(R^2 - (a/2)^2).

Возводим обе части уравнения в квадрат:

R^2 - (a/2)^2 = a^4 / (R^2 - (a/2)^2).

Теперь упростим:

R^2(R^2 - (a/2)^2) - (a/2)^2(R^2 - (a/2)^2) = a^4.

R^4 - a^2R^2 - a^2R^2 + a^4 = a^4.

R^4 - 2a^2R^2 = 0.

a^2 = R^2 / 2.

Теперь найдем a:

a = √(R^2 / 2) = R / √2.

Так как трапеция равнобедренная, b также равно R / √2.

Итак, наибольшая площадь трапеции, вписанной в полукруг радиуса R, равна:

S = a * h = (R / √2) * √(R^2 - (R/2)^2).

Теперь, подставляя значение R, вычислим площадь S.