Question

Доведіть, що для будь-якого натурального значення n значення виразу 4^n+15n-1 кратне 9.

Answer 1

Доведемо методом математичної індукції.

1) Базис індукції: n = 1: $4+15-1=18~ \vdots~ 9$

2) Припустимо, що і при $n=k$ вираз $\Big(4^k+15k-1\Big)~\vdots~ 9$

3) Індукційний перехід: n = k+1

$4^{k+1}+15(k+1)-1=4\cdot \Big(4^k+15k-1\Big)-9\cdot\Big(5k-2\Big)$

Перший доданок ділиться на 9 (за припущенням пункту 2), ну а другий, очевидно, що ділиться на 9, оскільки є множник 9. Отже, вираз $\Big(4^n+15n-1\Big)$ кратно 9 для натуральних $n$

Answer 2

Для доведення того, що вираз $4^n + 15n - 1$ кратний 9 для будь-якого натурального значення $n$, ми можемо використати метод математичної індукції.

1. Базовий крок: Перевіримо вираз для $n = 1$: $4^1 + 15 \cdot 1 - 1 = 4 + 15 - 1 = 18$, що дійсно кратне 9 (18 = 2 * 9).

2. Припустимо, що вираз виконується для деякого $k$: $4^k + 15k - 1$ є кратним 9.

3. Доведемо, що вираз також виконується для $k+1$: $4^{k+1} + 15(k+1) - 1$

   За використанням свойства $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$, ми можемо переписати перший доданок:

   $4^{k+1} = 4^k \cdot 4$

   Тоді, $4^{k+1} + 15(k+1) - 1 = 4^k \cdot 4 + 15k + 15 - 1$

   Розкриваємо дужки в $15k + 15$:

   $4^{k+1} + 15(k+1) - 1 = 4^k \cdot 4 + 15k + 14$

   Тепер, виходячи з припущення, що $4^k + 15k - 1$ кратне 9, ми можемо записати:

   $4^{k+1} + 15(k+1) - 1 = 4^k \cdot 4 + 15k + 14 = (4^k + 15k - 1) + 9$

   Отже, $4^{k+1} + 15(k+1) - 1$ також кратне 9.

4. Висновок: За допомогою математичної індукції, ми довели, що для будь-якого натурального значення $n$ вираз $4^n + 15n - 1$ є кратним 9.