Question

Помогите решить задание найти полный дифференциал функции z(x,y)=ctg^2(xy)+2^(y/x)

Answer 1

$></p> <p><img src=$

Answer 2

Для нахождения полного дифференциала функции z(x, y) = ctg^2(xy) + 2^(y/x), нужно найти её производные по x и y и выразить их в форме дифференциалов dx и dy. Затем можно будет записать полный дифференциал функции dz.

Шаг 1: Найдем частные производные функции z(x, y) по x и y:

Частная производная по x: ∂z/∂x = ∂/∂x (ctg^2(xy) + 2^(y/x))

Для вычисления этой производной, нужно использовать правило дифференцирования сложной функции. Заметим, что первый член функции не зависит от x, поэтому его производная будет равна нулю.

∂/∂x (ctg^2(xy)) = 0

Для второго члена, применим правило дифференцирования степенной функции с переменным основанием:

∂/∂x (2^(y/x)) = 2^(y/x) * ln(2) * (-y/x^2)

Шаг 2: Найдем частную производную по y:

∂z/∂y = ∂/∂y (ctg^2(xy) + 2^(y/x))

Для первого члена, аналогично первому шагу, производная будет равна нулю:

∂/∂y (ctg^2(xy)) = 0

Для второго члена, снова используем правило дифференцирования степенной функции с переменным основанием:

∂/∂y (2^(y/x)) = 2^(y/x) * ln(2) * (1/x)

Шаг 3: Запишем полный дифференциал dz:

dz = (∂z/∂x) dx + (∂z/∂y) dy

Подставим найденные значения производных:

dz = (2^(y/x) * ln(2) * (-y/x^2)) dx + (2^(y/x) * ln(2) * (1/x)) dy

Таким образом, полный дифференциал функции z(x, y) равен:

dz = 2^(y/x) * ln(2) * (-y/x^2) dx + 2^(y/x) * ln(2) * (1/x) dy