Question

За столом по кругу сидят 143 человека, каждый из которых является рыцарем или лжецом. Каждый из них произнёс фразу: «Следующие k человек, сидящие после меня по часовой стрелке, лжецы». При каких натуральных k>1 это возможно?

Answer 1

Ответ: 10 и 12

У 143 - 4 делителя. 1,11,13,143. Все такие задачи решаются через блоки - набор одинаковых последовательностей. Тут возможны только такие :

Р и 10 лжецов - к=10

Р и 12 лжецов - к=12

Р и все остальные лжецы - к = 142

Answer 2

Для данной задачи, пусть некоторое k>1. Предположим, что есть i-й человек за столом (нумерация начинается с 1), и он является рыцарем. Он утверждает, что следующие k человек за ним лжецы. Это означает, что из его слов следует, что следующие k человек за ним обязательно будут лжецами.

Теперь рассмотрим три случая:

1. i < k: В этом случае следующих k человек просто не существует за круглым столом, так как общее количество людей составляет 143, а максимальное значение k, которое можно рассмотреть, равно 142. Следовательно, такое значение k невозможно.

2. i = k: Если i=k, тогда i-й человек рассуждает о следующих k человеках, которые идут за ним по часовой стрелке. Но, учитывая, что стол круглый, первым человеком после i-го будет сам i-й человек. Таким образом, его утверждение означает, что i-й человек идентифицируется как лжец, но мы уже знаем, что он является рыцарем, что приводит к противоречию. Следовательно, такое значение k тоже невозможно.

3. i > k: В этом случае у i-го человека есть k человек, следующих за ним по часовой стрелке. Он утверждает, что все они лжецы, но так как у нас 143 человека и 143 лжеца невозможно, такое значение k также невозможно.

Итак, ни одно из значений k>1 не подходит для этой задачи. Возможно только k=1, когда каждый человек называет следующего за ним лжецом.