Question

ДАЮ 100 БАЛЛОВ!!! СРОЧНО!!! За столом по кругу сидят 143 143 человека, каждый из которых является рыцарем или лжецом. Каждый из них произнёс фразу: «Следующие k человек, сидящие после меня по часовой стрелке, лжецы». При каких натуральных >1 k > 1 это возможно?

Answer 1

Короче:

1. Все лжецами быть не могут, потлмучто тогда они говорят правду независимо от k. Значит есть хотя бы 1 рыцарь.

2. Выбираем рыцаря, следущие k от него - лжецы. Но далее должен идти рыцарь.*

* Если k+1 оказался лжецом, то 1 после начального рыцаря говорил правду, что невозможно.

3. В результате получаем следующую картину: рыцарь - k лжецов, рыцарь - k лжецов... В итоге мы должны наткнуться на нашего начального рыцаря как начало нового звена. То есть всех сидящих можно записать как A=n*(1+k), где n - количество звеньев, n>=1

то есть: n*(1+k) = 143

n*(1+k) = 11*13

то есть при n=1 -> 1+k=143 или k=142

если n=/=1, то 1+k является одним из простых множителей 143, то есть k=10, 12.

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим возможные значения k.

Предположим, что k равно 2. Рассмотрим два случая:

1. Если первый человек говорит правду (рыцарь), то второй человек должен быть лжецом, что противоречит утверждению.
2. Если первый человек говорит ложь (лжец), то второй человек должен быть рыцарем, что также противоречит утверждению.

Таким образом, при k = 2 решения нет.

Теперь рассмотрим k = 3:

1. Если первый человек говорит правду (рыцарь), то второй человек должен быть лжецом, а третий человек должен быть рыцарем. Это возможно, и все утверждения согласуются.
2. Если первый человек говорит ложь (лжец), то второй человек должен быть рыцарем, а третий человек должен быть лжецом. Это также возможно, и все утверждения согласуются.

Таким образом, при k = 3 решение возможно.

Проверим теперь для k = 4:

1. Если первый человек говорит правду (рыцарь), то второй должен быть лжецом, третий - рыцарем, а четвертый - лжецом. Это противоречит утверждениям, так как у нас не может быть два лжеца подряд.
2. Если первый человек говорит ложь (лжец), то второй должен быть рыцарем, третий - лжецом, а четвертый - рыцарем. Это также противоречит утверждениям, так как у нас не может быть два рыцаря подряд.

Таким образом, при k = 4 решение невозможно.

Мы можем продолжить проверять различные значения k, но можно заметить закономерность. Решение возможно только для четных значений k, а именно для k = 2m, где m - натуральное число. Для нечетных значений k решение невозможно.

Итак, ответ: возможны только натуральные числа k > 1, которые представляют собой четные значения k = 2m, где m - натуральное число.