Question

Z= e^x/y+ln(x^2+xy) Найти dz/dx и dz/dy

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Для нахождения частных производных функции Z = e^(x/y) + ln(x^2 + xy) по переменным x и y, выполним следующие шаги:

1. Найдем производную функции Z по переменной x (dz/dx):
2. Найдем производную функции Z по переменной y (dz/dy):

Давайте начнем:

1. Найдем dz/dx: Для этого воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.

Z = e^(x/y) + ln(x^2 + xy)

По правилу цепочки, производная сложной функции e^(u) равна (du/dx) * e^(u), где u = x/y.

dz/dx = d/dx [e^(x/y)] + d/dx [ln(x^2 + xy)]

Производная e^(u) равна (du/dx) * e^(u), где u = x/y:

dz/dx = (1/y) * e^(x/y) + (1 / (x^2 + xy)) * d/dx [x^2 + xy]

Теперь найдем производную второго слагаемого:

d/dx [x^2 + xy] = 2x + y

Подставим этот результат обратно в dz/dx:

dz/dx = (1/y) * e^(x/y) + (1 / (x^2 + xy)) * (2x + y)

2. Найдем dz/dy: Также воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.

dz/dy = d/dy [e^(x/y)] + d/dy [ln(x^2 + xy)]

Производная e^(u) равна (du/dy) * e^(u), где u = x/y:

dz/dy = (-x/y^2) * e^(x/y) + (1 / (x^2 + xy)) * d/dy [x^2 + xy]

Теперь найдем производную второго слагаемого:

d/dy [x^2 + xy] = x

Подставим этот результат обратно в dz/dy:

dz/dy = (-x/y^2) * e^(x/y) + (1 / (x^2 + xy)) * x

Таким образом, частные производные функции Z по переменным x и y равны:

dz/dx = (1/y) * e^(x/y) + (1 / (x^2 + xy)) * (2x + y) dz/dy = (-x/y^2) * e^(x/y) + (1 / (x^2 + xy)) * x