Question

Найти общее решение dx/dt = 8x

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Решение приложено к снимку:

Answer 2

Дифференциальное уравнение $\frac{dx}{dt} = 8x$ является обыкновенным линейным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Давайте решим его.

$\frac{dx}{dt} = 8x$

Для начала разделим переменные, переместив $x$ на одну сторону и $dt$ на другую:

$\frac{dx}{x} = 8 dt$

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

$\int \frac{1}{x} dx = \int 8 dt$

Интегралы:

$\ln |x| = 8t + C$

Где $C$ - постоянная интегрирования.

Теперь найдем выражение для $x$:

$\ln |x| = 8t + C$

Чтобы избавиться от натурального логарифма, применим экспоненциальную функцию к обеим сторонам:

$|x| = e^{8t + C}$

Так как экспоненциальная функция всегда положительна, модуль $|x|$ можно опустить:

$x = \pm e^{8t + C}$

Теперь давайте перепишем $e^{8t + C}$ в более компактной форме:

$x = \pm e^C \cdot e^{8t}$

Объединяя константу $e^C$ в одну новую константу $K$, получаем общее решение дифференциального уравнения:

$x = Ke^{8t},$

где $K$ - произвольная постоянная.