Question

4. Исследовать функцию, при помощи производной, простроить график.y = x4 - 18х2 – 5​

Answer 1

$f(x) = x^4 - 18x^2 - 5 = x^4 - 18x^2 + 81 - 86 = (x^2-9)^2 - 86 = (x^2-9-\sqrt{86})(x^2-9+\sqrt{86}) = (x^2-(9+\sqrt{86}))(x^2-(9-\sqrt{86})) = (x-\sqrt{9+\sqrt{86}})(x+\sqrt{9+\sqrt{86}})(x^2-(9-\sqrt{86}))\\f'(x) = 4x^3 - 36x = 4x(x^2-9) = 4x(x-3)(x+3) => f'(x) = 0 => x_1_2_3 = -3, 0,3\\--------[-3]+++++[0]-------[3]++++++++>f'(x)$

Из приведенного выше исследования выяснено, что корни данного трехчлена:

$x_1 = \sqrt{9+\sqrt{86}}\\x_2=-\sqrt{9+\sqrt{86}}$

Так же с помощью производной найдены экстремумы функции, а именно точка x = -3, x = 3 - локальные точки минимума, x = 0 - локальная точка максимума. На промежутках x = [-3;0] и x = [3; +∞) функция возрастает, и соответственно, на оставшихся - убывает.

Найдем значения функции в данных точках:

$f(3) = 3^4 - 18*3^2 - 5 = 81 - 162 - 5 = -86\\f(0) = 0^4 - 18*0^2 - 5 = -5\\f(-3)=f(3) = -86$

По найденным данным график можно построить с хорошей точностью.

Answer 2

Чтобы исследовать функцию y = x^4 - 18x^2 - 5 при помощи производной и построить её график, выполним следующие шаги:

1. Найдем производную функции y по переменной x.
2. Найдем точки, где производная равна нулю, чтобы определить экстремумы функции.
3. Найдем значения второй производной в этих точках, чтобы определить характер экстремумов (минимумы или максимумы).
4. Определим интервалы возрастания и убывания функции.
5. Найдем значения функции в критических точках и на концах интервалов.
6. Построим график функции.

Шаг 1: Найдем производную функции y по x: y' = d/dx (x^4 - 18x^2 - 5) y' = 4x^3 - 36x

Шаг 2: Найдем критические точки, где производная равна нулю: 4x^3 - 36x = 0 4x(x^2 - 9) = 0 x(x - 3)(x + 3) = 0

Отсюда получаем три критические точки: x = 0, x = 3 и x = -3.

Шаг 3: Найдем значения второй производной в критических точках: y'' = d/dx (4x^3 - 36x) y'' = 12x^2 - 36

y''(x = 0) = 12(0)^2 - 36 = -36 y''(x = 3) = 12(3)^2 - 36 = 72 y''(x = -3) = 12(-3)^2 - 36 = 72

Шаг 4: Определим интервалы возрастания и убывания функции.

Из анализа знаков производной можно сделать вывод, что функция возрастает на интервалах (-∞, -3), (0, 3) и убывает на интервале (-3, 0), (3, +∞).

Шаг 5: Найдем значения функции в критических точках и на концах интервалов.

y(x = 0) = (0)^4 - 18(0)^2 - 5 = -5 y(x = 3) = (3)^4 - 18(3)^2 - 5 = 16 - 162 - 5 = -151 y(x = -3) = (-3)^4 - 18(-3)^2 - 5 = 16 - 162 - 5 = -151

Шаг 6: Построим график функции y = x^4 - 18x^2 - 5:

Для удобства и наглядности, я не буду приводить полный код для построения графика, так как это зависит от выбранной программы или библиотеки для построения графиков. Однако, можно использовать язык программирования Python и библиотеку matplotlib для выполнения этой задачи:

pythonCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Создаем массив x значений от -5 до 5 с шагом 0.1
x = np.linspace(-5, 5, 100)

# Вычисляем значения y для каждого x
y = x**4 - 18*x**2 - 5

# Построение графика
plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График функции y = x^4 - 18x^2 - 5')
plt.grid(True)
plt.show()

На получившемся графике можно увидеть форму функции y = x^4 - 18x^2 - 5 и её поведение на указанных интервалах возрастания и убывания. Точки пересечения с осью x, которые мы определили на шаге 5, также отражены на графике.