Question

Решите пожалуйста дифференциальное уравнение y'=2xy

Answer 1

Ответ:

$y = Ce^{x^2}$

Пошаговое объяснение:

$\dfrac{dy}{dx} =2xy\\\\\dfrac{dy}{y} =2xdx\\\\lny=x^2+lnC\\\\y = Ce^{x^2}$

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения y' = 2xy, мы можем использовать метод разделения переменных. Этот метод предполагает, что мы можем разделить переменные x и y, перенося все x-зависимые члены на одну сторону уравнения, а все y-зависимые члены на другую сторону.

Давайте выполним необходимые шаги для решения уравнения:

1. Разделим уравнение на y: y' / y = 2x.

2. Интегрируем обе стороны по переменной x:

∫(y' / y) dx = ∫2x dx.

3. Интегрируем левую и правую части уравнения:

∫(1/y) dy = x^2 + C,

где С - постоянная интегрирования.

4. Проинтегрируем левую часть:

ln|y| = x^2 + C.

5. Применим экспоненту к обеим сторонам уравнения:

|y| = e^(x^2 + C).

6. Используем свойство экспоненты, что e^(A + B) = e^A * e^B:

|y| = e^(x^2) * e^C.

7. Заменим e^C новой константой K:

|y| = Ke^(x^2).

Теперь вспомним, что у абсолютной величины |y| могут быть два знака, поэтому решение уравнения будет двойным:

1. y = Ke^(x^2), где K - произвольная константа (для положительных значений y).
2. y = -Ke^(x^2), где K - произвольная константа (для отрицательных значений y).

Это общее решение дифференциального уравнения y' = 2xy.