Question

Найти площадь фигуры ограниченой линиями y=x², y=2-x²

Answer 1

Ответ: S≈2,6667 кв. ед.

Пошаговое объяснение:

y=x²    y=2-x²      S=?

x²=2-x²

2*x²=2  |÷2

x²=1

x₁=-1      x₂=1       ⇒

₋₁∫¹(2-x²-x²)dx=₋₁∫¹(2-2x²)dx=2*₋₁∫¹(1-x²)dx=2*(x-(x³/3))  ₋₁|¹=

=2*(1-(1³/3)-(-1-((-1)³/3)=2*(1-(1/3)-(-1+(1/3)=1-(1/3)+1-(1/3)=2²/₃.

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми y = x² и y = 2 - x², нужно найти точки их пересечения и затем вычислить определенный интеграл между этими точками.

Шаг 1: Найдем точки пересечения кривых: Для этого приравняем уравнения кривых друг другу и решим уравнение относительно x: x² = 2 - x² 2x² = 2 x² = 1 x = ±√1 x = ±1

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (1, 1) и (-1, 1).

Шаг 2: Вычисление площади между кривыми: Для вычисления площади между кривыми используем определенный интеграл: Площадь = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx

где a и b - это значения x для точек пересечения, f(x) - функция верхней кривой (в данном случае y = 2 - x²), а g(x) - функция нижней кривой (в данном случае y = x²).

Таким образом, площадь между кривыми равна: Площадь = ∫[-1, 1] ((2 - x²) - x²) dx

Вычислим этот интеграл: Площадь = ∫[-1, 1] (2 - 2x²) dx

Для интегрирования выражения 2 - 2x² от -1 до 1, выполним следующие шаги:

∫(2 - 2x²) dx = 2x - (2/3)x³ + C

Теперь вычислим значение интеграла между пределами -1 и 1:

Площадь = [2x - (2/3)x³] [-1, 1] Площадь = [2(1) - (2/3)(1)³] - [2(-1) - (2/3)(-1)³] Площадь = [2 - (2/3)] - [-2 - (2/3)] Площадь = (4/3) + (4/3) Площадь = 8/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x² и y = 2 - x², равна 8/3 (приближенно 2.67 квадратных единицы).