Question

Спростити вираз ✓1-sin^2 a/2+✓1-cos^2 a/2

Answer 1

Ответ:

sin(a/2) + cos(a/2)

Пошаговое объяснение:

$\sqrt[]{1-sin^2(a/2)} + \sqrt[]{1-cos^2(a/2)} = cos(a/2) + sin(a/2) = \sqrt[]2} sin(a/2 + pi/4)$

Answer 2

Звісно, я можу спростити цей вираз для вас:

$\sqrt{1 - \sin^2{\frac{a}{2}}} + \sqrt{1 - \cos^2{\frac{a}{2}}}$

Почнемо з першого доданка. Відомо, що $\sin^2{x} + \cos^2{x} = 1$ (це тотожність Піфагора для синуса та косинуса). Тому ми можемо записати:

$\sin^2{\frac{a}{2}} = 1 - \cos^2{\frac{a}{2}}$

Підставимо це у перший доданок:

$\sqrt{1 - \sin^2{\frac{a}{2}}} = \sqrt{1 - (1 - \cos^2{\frac{a}{2}})} = \sqrt{\cos^2{\frac{a}{2}}}$

Так як квадратний корінь від квадрата числа дає модуль цього числа, отримаємо:

$\sqrt{\cos^2{\frac{a}{2}}} = |\cos{\frac{a}{2}}|$

Аналогічно, для другого доданка:

$\sqrt{1 - \cos^2{\frac{a}{2}}} = \sqrt{\sin^2{\frac{a}{2}}} = |\sin{\frac{a}{2}}|$

Таким чином, спрощений вираз виглядає так:

$|\cos{\frac{a}{2}}| + |\sin{\frac{a}{2}}|$

Ми використали тотожність Піфагора, щоб перетворити вирази, і залишили модулі для збереження позитивних значень синуса та косинуса.