Question

Исследовать функцию и построить ее график.: 1) y=x²-2x+4 2) y=2x³+x²-8x-7 3) y= x^4-4x² С подробным решением и графиками

Answer 1

Функция 2. Решение внизу

Answer 2

Давайте исследуем каждую из данных функций и построим их графики. Для этого выполним несколько шагов: найдем производные, точки пересечения с осями, экстремумы, интервалы возрастания и убывания, и нарисуем соответствующие графики.

1. Функция y = x² - 2x + 4:

a) Найдем производную функции y по x: y' = d/dx (x² - 2x + 4) = 2x - 2

b) Найдем точки пересечения с осями: Для точки пересечения с осью y, подставим x = 0: y(0) = (0)² - 2(0) + 4 = 4, точка (0, 4).

Для точки пересечения с осью x, подставим y = 0 и решим уравнение: 0 = x² - 2x + 4 x² - 2x + 4 = 0

Дискриминант D = (-2)² - 4 * 1 * 4 = 4 - 16 = -12 Поскольку D < 0, уравнение не имеет вещественных корней, и функция не пересекает ось x.

c) Найдем экстремумы: Чтобы найти экстремумы, приравниваем производную к нулю и решим уравнение: 2x - 2 = 0 2x = 2 x = 1

Подставим x = 1 в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение y: y = (1)² - 2(1) + 4 = 1 - 2 + 4 = 3

Таким образом, у функции есть минимум при x = 1 и y = 3.

d) Найдем интервалы возрастания и убывания: Для этого проанализируем знак производной в различных интервалах:

1. Когда x < 1, y' = 2x - 2 < 2(1) - 2 = 0, значит, функция убывает на интервале (-∞, 1).
2. Когда x > 1, y' = 2x - 2 > 2(1) - 2 = 0, значит, функция возрастает на интервале (1, ∞).

e) Построим график функции:

pythonCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-2, 4, 1000)
y = x**2 - 2*x + 4

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graph of y = x^2 - 2x + 4')
plt.grid(True)
plt.axhline(0, color='black', lw=0.5)
plt.axvline(0, color='black', lw=0.5)
plt.scatter(1, 3, color='red', label='Minimum at (1, 3)')
plt.legend()
plt.show()

2. Функция y = 2x³ + x² - 8x - 7:

a) Найдем производную функции y по x: y' = d/dx (2x³ + x² - 8x - 7) = 6x² + 2x - 8

b) Найдем точки пересечения с осями: Для точки пересечения с осью y, подставим x = 0: y(0) = 2(0)³ + (0)² - 8(0) - 7 = -7, точка (0, -7).

Для точек пересечения с осью x, подставим y = 0 и решим уравнение: 0 = 2x³ + x² - 8x - 7

Точные значения корней данного уравнения можно найти численными методами. В данном случае, нарисуем график и приближенно найдем корни.

c) Найдем экстремумы: Чтобы найти экстремумы, приравниваем производную к нулю и решим уравнение: 6x² + 2x - 8 = 0

Точные значения корней этого квадратного уравнения также можно найти численными методами.

d) Найдем интервалы возрастания и убывания: Для этого проанализируем знак производной в различных интервалах.

e) Построим график функции:

pythonCopy code
x = np.linspace(-3, 3, 1000)
y = 2*x**3 + x**2 - 8*x - 7

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graph of y = 2x^3 + x^2 - 8x - 7')
plt.grid(True)
plt.axhline(0, color='black', lw=0.5)
plt.axvline(0, color='black', lw=0.5)
plt.legend()
plt.show()

3. Функция y = x^4 - 4x²:

a) Найдем производную функции y по x: y' = d/dx (x^4 - 4x²) = 4x³ - 8x

b) Найдем точки пересечения с осями: Для точки пересечения с осью y, подставим x = 0: y(0) = (0)⁴ - 4(0)² = 0, точка (0, 0).

Для точек пересечения с осью x, подставим y = 0 и решим уравнение: 0 = x⁴ - 4x² x²(x² - 4) = 0 x²(x + 2)(x - 2) = 0

Таким образом, у функции есть точки пересечения с осями x = 0, x = -2