Question

Для функций f(x)=1-2sin^2(x/2) найдите первообразную,график которой проходит через данную точку М(-п/2;-10)

Answer 1

Первообразной для данной функции $\displaystyle f(x)$ называют такую функцию $\displaystyle F(x)$, производная которой равна $f$ (на всей области определения $f$), то есть $F(x)' = f(x)$.

Имеем функцию $f(x) = 1 - 2\sin^{2}\left(\dfrac{x}{2} \right)$

Упросим данную функцию, воспользовавшись формулой косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^{2}\alpha$

Тогда $f(x) = \cos x$

Общий вид первообразных для функции $f(x)$ имеет вид: $F(x) = \sin x + C$

Определим константу $C$, зная, что график первообразной проходит через точку $M \left(-\dfrac{\pi}{2}; -10 \right)$

Таким образом, $-10 = \sin \left( -\dfrac{\pi}{2} \right) + C$

$-10 = -\sin\dfrac{\pi}{2} + C$

$-10 = -1 + C$

$C = -9$

Следовательно, первообразной для функции $f(x)$, график которой проходит через данную точку $M \left(-\dfrac{\pi}{2}; -10 \right)$, является $F(x) = \sin x - 9$

Ответ: $F(x) = \sin x - 9$

Answer 2

Для нахождения первообразной функции $F(x)$ функции $f(x)$ с условием прохождения графика через точку $M(-\frac{\pi}{2}, -10)$ необходимо найти $F(x)$ с учётом добавления постоянной $C$:

$F(x) = \int f(x) dx + C$

Для нахождения интеграла $\int f(x) dx$, сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f(x) = 1 - 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$

Чтобы взять производную $f'(x)$, используем правило дифференцирования сложной функции и формулу для производной синуса:

$f'(x) = -2 \cdot 2 \cdot \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{1}{2}$

$f'(x) = -2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right)$

Теперь найдем первообразную $F(x)$ функции $f(x)$:

$F(x) = \int f(x) dx = \int (1 - 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)) dx$

Для интегрирования, можно использовать замену переменных $u = \frac{x}{2}$ и $du = \frac{1}{2} dx$:

$F(x) = \int (1 - 2\sin^2(u)) 2 du$

$F(x) = 2 \int (1 - 2\sin^2(u)) du$

$F(x) = 2 \int (1 - 2\sin^2(u)) du = 2 \left(u - \frac{2}{3} \sin^3(u)\right) + C$

Подставим обратно $u = \frac{x}{2}$:

$F(x) = 2 \left(\frac{x}{2} - \frac{2}{3} \sin^3\left(\frac{x}{2}\right)\right) + C$

$F(x) = x - \frac{4}{3} \sin^3\left(\frac{x}{2}\right) + C$

Теперь, чтобы найти постоянную $C$, используем условие прохождения графика через точку $M(-\frac{\pi}{2}, -10)$:

$F\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi}{2} - \frac{4}{3} \sin^3\left(-\frac{\pi}{4}\right) + C = -10$

$-\frac{\pi}{2} + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8} + C = -10$