Question

Знайдіть площу, обмежену кривою у=х^2-6х+9 та прямою у=9-2х

Answer 1

Ответ: S=10,667 кв.ед.

Пошаговое объяснение:

y=x²-6x+9    y=9-2x

x²-6x+9=9-2x

x²-4x=0

x*(x-4)=0

x₁=0      x₂=4    

S=₀∫⁴(9-2x-x²+6x-9)dx=₀∫⁴(4x-x²)dx=2x²-(x³/3)  ₀|⁴=

=2*4²-(4³/3)=32-(64/3)=32-21¹/₃=10²/₃.

Answer 2

Щоб знайти площу, обмежену кривою та прямою, потрібно знайти точки їх перетину та потім обчислити відповідний інтеграл.

Спершу знайдемо точки перетину обох функцій, тобто розв'яжемо рівняння:

х^2 - 6х + 9 = 9 - 2х

Приведемо усі доданки в одну частину:

х^2 - 6х + 2х - 9 = 0

х^2 - 4х - 9 = 0

Тепер розв'яжемо квадратне рівняння. Використаємо квадратне рівняння:

х = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

де a = 1, b = -4, c = -9.

х = (4 ± √(4^2 - 4 * 1 * (-9))) / 2

х = (4 ± √(16 + 36)) / 2

х = (4 ± √52) / 2

х = (4 ± 2√13) / 2

х = 2 ± √13

Таким чином, ми отримали дві точки перетину: х₁ = 2 + √13 та х₂ = 2 - √13.

Тепер можемо обчислити площу між кривою та прямою шляхом обчислення відповідного інтегралу:

Площа = ∫[х₁ до х₂] (функція1 - функція2) dx

де функція1 = х^2 - 6х + 9

та функція2 = 9 - 2х

Підставляючи значення, отримуємо:

Площа = ∫[2 - √13 до 2 + √13] ((х^2 - 6х + 9) - (9 - 2х)) dx

Площа = ∫[2 - √13 до 2 + √13] (х^2 - 6х + 9 - 9 + 2х) dx

Площа = ∫[2 - √13 до 2 + √13] (х^2 - 4х) dx

Тепер знайдемо невизначений інтеграл функції (х^2 - 4х):

∫ (х^2 - 4х) dx = (х^3/3) - 2х^2 + C

де C - це стала інтегрування.

Тепер обчислимо визначений інтеграл:

Площа = [(х^3/3) - 2х^2] [від х₁ до х₂]

Площа = [(х₂^3/3) - 2х₂^2] - [(х₁^3/3) - 2х₁^2]

Підставимо значення х₁ = 2 + √13 та х₂ = 2 - √13:

Площа = [((2 - √13)^3)/3 - 2(2 - √13)^2] - [((2 + √13)^3)/3 - 2(2 + √13)^2]

Площа = [(8 - 6√13 + 13√13 - 13)/3 - 2(4 - 4√13 + 13) ] - [ (8 + 6√13 + 13√13 - 13)/3 - 2(4 + 4√13 + 13) ]

Площа = [(21√13 - 18)/3 - (49 - 6√13)] - [(21√13 + 18)/3 - (49 + 6√13)]

Площа = [21√13 - 18 - 3(49 - 6√13)] - [21√13 + 18 - 3(49 + 6√13)]

Площа = [21√13 - 18 - 147 + 18√13] - [21√13 + 18 - 147 - 18√13]

Площа = (21√13 - 18√13) - (21√13 - 18√13)

Площа = 0

Отже, площа, обмежена кривою у=х^2-6х+9 та прямою у=9-2х, дорівнює 0.