Question

Обчисліть площу, обмежену параболою х=2у^2 та прямою х=4

Answer 1

Ответ: S≈7,5425 кв. ед.

Пошаговое объяснение:

$x=2*y^{2} ;=4\\y^{2} =4;y_-\sqrt{2}{1} =-\sqrt{2} ;y_{2} =\sqrt{2} \\S=\int\limits^ {\sqrt{2}}_{-\sqrt{2}} (4-2*y^{2} )dy=(4x-\frac{2}{3} *y^{3} ) |\frac{\sqrt{2} }{-\sqrt{2} } =\\ =4*\sqrt{2 } -\frac{2*2*\sqrt{2} }{3} -(4*(-\sqrt{2)}-\frac{2*2*(-\sqrt{2} )}{3})=\\ =8*\sqrt{2} -\frac{8}{3} *\sqrt{2} =\frac{16}{3} *\sqrt{2}.$

Answer 2

Для обчислення площі, обмеженої параболою та прямою, спочатку знайдемо точки їх перетину, а потім обчислимо площу за допомогою відповідного інтегралу.

1. Знайдемо точки перетину параболи та прямої: Підставимо значення х з рівняння прямої в рівняння параболи та розв'яжемо відповідне рівняння для у:

х = 2у^2 4 = 2у^2 у^2 = 2 у = ±√2

Таким чином, точки перетину параболи з прямою - (±√2, 4).

2. Обчислимо площу між параболою та прямою: Знаходимо інтеграл площі між двома функціями від x = -√2 до x = √2:

Площа = ∫[x = -√2 до x = √2] (2у^2 - 4) dx

3. Знаходимо вираз для у залежності від х: х = 2у^2 y^2 = x/2 y = √(x/2) для y ≥ 0

4. Підставимо вираз для у у вираз площі: Площа = ∫[x = -√2 до x = √2] (2 * (√(x/2))^2 - 4) dx Площа = ∫[x = -√2 до x = √2] (x - 4) dx

5. Інтегруємо: Площа = [x^2/2 - 4x] | [x = -√2 до x = √2] Площа = [(√2)^2/2 - 4√2] - [((-√2)^2/2 - 4(-√2))] Площа = [2/2 - 4√2] - [2/2 + 4√2] Площа = (2 - 4√2) - (2 + 4√2) Площа = 2 - 4√2 - 2 - 4√2 Площа = -8√2

Отже, площа, обмежена параболою x = 2y^2 та прямою x = 4, дорівнює -8√2 квадратних одиниць (або приблизно -11.31 квадратних одиниць, якщо округлити до двох знаків після коми).