Question

Обчислити площу фігури обмеженої параболою y=x^2-3x+4 і прямою у=4-х

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

В прикреплённом файле

Answer 2

Щоб обчислити площу фігури, обмеженої параболою та прямою, спочатку треба знайти точки їх перетину. Для цього рівняємо їхні вирази для y:

1. Рівняння параболи: \(y = x^2 - 3x + 4\) 2. Рівняння прямої: \(y = 4 - x\)

Тепер прирівняємо їх:

\[x^2 - 3x + 4 = 4 - x\]

Переносимо всі терміни на одну сторону, щоб отримати квадратне рівняння:

\[x^2 - 2x = 0\]

Тепер факторизуємо:

\[x(x - 2) = 0\]

Отримали два розв'язки: \(x = 0\) або \(x = 2\). Тепер підставимо ці значення x у вихідні рівняння, щоб знайти відповідні значення y:

1. Для \(x = 0\): \(y = (0)^2 - 3(0) + 4 = 4\), тобто точка (0, 4). 2. Для \(x = 2\): \(y = (2)^2 - 3(2) + 4 = 0\), тобто точка (2, 0).

Отже, ми маємо дві точки перетину: (0, 4) і (2, 0).

Тепер можемо обчислити площу фігури, яку обмежують парабола і пряма. Площа під кривою між двома точками визначається інтегралом:

\[S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \,dx\]

де \(f(x)\) - верхня функція (парабола), \(g(x)\) - нижня функція (пряма), а \(a\) і \(b\) - точки перетину.

У нашому випадку:

\[S = \int_{0}^{2} ((x^2 - 3x + 4) - (4 - x)) \,dx\]

Розгортаємо та інтегруємо:

\[S = \int_{0}^{2} (x^2 - 3x + 4 - 4 + x) \,dx\]

\[S = \int_{0}^{2} (x^2 - 2x) \,dx\]

\[S = \left[\frac{x^3}{3} - x^2\right]_{0}^{2}\]

\[S = \left(\frac{2^3}{3} - 2^2\right) - \left(\frac{0^3}{3} - 0^2\right)\]

\[S = \frac{8}{3} - 4\]

Отже, площа фігури, обмеженої параболою \(y = x^2 - 3x + 4\) і прямою \(y = 4 - x\), дорівнює \(\frac{8}{3} - 4\).