Question

Обчислити площу плоскої фігури, обмеженої лініями: параболою у=(х+2)^2, прямою у=4-х​

Answer 1

Для розрахунку площі плоскої фігури, обмеженої двома кривими лініями, ми можемо використати метод інтегрування.

Спочатку знайдемо точки перетину двох кривих, підставивши їх рівняння у= (х+2)^2 та у=4-х у систему рівнянь:

(х+2)^2 = 4 - х

Розв'язавши цю систему рівнянь, отримаємо:

х^2 + 4х + 4 = 4 - х

х^2 + 5х = 0

х(х + 5) = 0

Отже, х = 0 або х = -5.

Тепер ми можемо обчислити площу фігури, застосовуючи інтеграл. Площа обмежена кривими буде різницею інтегралів цих кривих на відрізку від однієї точки перетину до іншої.

Площа фігури S обчислюється за формулою:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx,

де f(x) та g(x) - функції, що обмежують фігуру, а [a, b] - відрізок, на якому фігура знаходиться.

В нашому випадку, функція f(x) = (x+2)^2 та g(x) = 4-x. Точки перетину -5 і 0. Отже, ми обчислюємо:

S = ∫[-5, 0] ((x+2)^2 - (4-x)) dx.

Проведення обчислень інтегралу дає:

S = ∫[-5, 0] (x^2 + 4x + 4 - 4 + x) dx

= ∫[-5, 0] (x^2 + 5x) dx

= [(1/3)x^3 + (5/2)x^2] [-5, 0]

= [(1/3)(0)^3 + (5/2)(0)^2] - [(1/3)(-5)^3 + (5/2)(-5)^2]

= [(1/3)(0) + (5/2)(0)] - [(1/3)(-125) + (5/2)(25)]

= 0 - (-125/3 - 125/2)

= 0 + 375/6 + 375/6

= 750/6

= 125.

Таким чином, площа фігури обмеженої параболою у=(х+2)^2 та прямою у=4-х дорівнює 125 квадратним одиницям.

Answer 2

Відповідь: 125/6.

Покрокове пояснення:

розв'язання завдання додаю

Answer 3

Щоб обчислити площу фігури, обмеженої цими двома лініями, потрібно знайти точки перетину параболи та прямої. Після цього можна буде обчислити площу між цими двома кривими за допомогою інтегралу.

1. Знайдіть точки перетину: Поставте у виразу параболи рівним у виразу прямої: (х + 2)^2 = 4 - х

   Розкриваючи дужки, отримуємо: x^2 + 4x + 4 = 4 - x

   Перенесіть все на один бік: x^2 + 5x = 0

   Факторизуйте: x(x + 5) = 0

   Отримуємо два корені: x = 0 або x = -5

   Підставляючи ці значення x у будь-який з рівнянь, отримуємо відповідні значення y: Для x = 0: y = (0 + 2)^2 = 4 Для x = -5: y = (-5 + 2)^2 = 9

   Отже, точки перетину цих двох кривих: (0, 4) і (-5, 9).

2. Обчисліть площу між цими двома кривими за допомогою інтегралу: Щоб обчислити площу між двома кривими, ми візьмемо інтеграл від різниці функцій y1 і y2 від x = -5 до x = 0:

   Площа = ∫[a,b] (y1 - y2) dx

   Підставляємо значення функцій: Площа = ∫[-5,0] ((x + 2)^2 - (4 - x)) dx

   Розкриваємо дужки і обчислюємо інтеграл: Площа = ∫[-5,0] (x^2 + 4x + 4 - 4 + x) dx = ∫[-5,0] (x^2 + 5x) dx

   Інтегруємо кожен елемент: Площа = (1/3)x^3 + (5/2)x^2 | [-5,0] = [(1/3)(0)^3 + (5/2)(0)^2] - [(1/3)(-5)^3 + (5/2)(-5)^