Question

Катет прямоугольного треугольника равен 8 см, а его проекция на гипотенузу равна 4 см. Найти гипотенузу и второй катет.

Answer 1

Ответ:

16 см; 8√3 см

Пошаговое объяснение:

Дано: ∆АВС, <С=90°, СF перпендикулярно АВ, ВС=8 см, BF=4 см

Найти: АС, АВ

Решение

1) ∆BCF, BF лежит напротив <BCF, причем BF=BC/2 => <BCF=30°

CF=BC×cos<BCF=8cos30°=8×√3/2=4√3 (см)

2) ∆АВС и ∆CBF, у них <С=<BFC=90°, <B - общий => ∆АВС подобный ∆CBF по двум углам => CF/AC=BF/BC => 4√3 / АС=4/8

AC=4√3×8/4=8√3 (см)

Из подобия также следует, что <А=<BCF=30°, тогда лежащий против <А катет ВС=АВ/2, то есть АВ=2ВС=8×2=16 см

Answer 2

Давайте обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а его гипотенузу как $c$. Также у нас есть информация о проекции одного из катетов на гипотенузу. Пусть $x$ - это длина проекции.

Мы знаем следующее:

$a = 8 \, \text{см}$ (длина катета)

$x = 4 \, \text{см}$ (длина проекции)

Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения $c$:

$c^2 = a^2 + b^2$

Также мы знаем, что подобные треугольники имеют пропорциональные стороны. Зная это, можно составить следующую пропорцию:

$\frac{a}{x} = \frac{c}{b}$

Мы можем решить эту пропорцию относительно $b$:

$b = \frac{cx}{a}$

Теперь мы можем подставить найденное значение $b$ в уравнение Пифагора:

$c^2 = a^2 + \left(\frac{cx}{a}\right)^2$

Теперь выразим $c$:

$c^2 = a^2 + \frac{c^2x^2}{a^2}$

Умножим обе стороны на $a^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$c^2a^2 = a^4 + c^2x^2$

Перенесем все члены с $c$ влево:

$c^2a^2 - c^2x^2 = a^4$

Факторизуем:

$c^2(a^2 - x^2) = a^4$

Избавимся от скобок, поделив обе стороны на $a^2 - x^2$:

$c^2 = \frac{a^4}{a^2 - x^2}$

Теперь найдем $c$:

$c = \sqrt{\frac{a^4}{a^2 - x^2}}$

Теперь, чтобы найти $b$, подставим $c$ в пропорцию:

$b = \frac{cx}{a} = \frac{\sqrt{\frac{a^4}{a^2 - x^2}} \cdot x}{a}$

Вычислим $c$ и $b$ по известным значениям:

$c = \sqrt{\frac{8^4}{8^2 - 4^2}} \approx 8.94 \, \text{см}$

$b = \frac{\sqrt{\frac{8^4}{8^2 - 4^2}} \cdot 4}{8} \approx 3.77 \, \text{см}$

Таким образом, гипотенуза $c$ равна примерно 8.94 см, а второй катет $b$ равен примерно 3.77 см.