Question

Скільки розв'язків має система рівнянь 3x+12y=-6 ; -x-4y=2

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

$\left \{ {{3x+12y=-6} \atop {-x-4y=2}} \right.$

$\left \{ {{3x+12y=-6} \atop {x=-2-4y}} \right.$

3x+12y=-6

3(-2-4y)+12y=-6

3*(-2)+3*(-4y)+12y=-6

-6-12y+12y=-6

-6=-6 - правильна рівність

Розв'язок системи рівнянь не залежить від змінних, тому  безліч розв'язків

Answer 2

Для знаходження кількості розв'язків системи рівнянь, спочатку з'ясуємо, яка вона є - однорідною чи неоднорідною. Однорідна система має ненульовий правий бік (тобто, всі константи правого боку рівних нулю), в той час як неоднорідна має ненульовий правий бік (тобто, принаймні одна константа правого боку не дорівнює нулю).

Наша система рівнянь:

1. 3x + 12y = -6
2. -x - 4y = 2

Друге рівняння має ненульовий правий бік (2), тому ця система неоднорідна.

Неоднорідна система рівнянь може мати лише один розв'язок, нескінченну кількість розв'язків або жодного розв'язку, залежно від взаємного положення прямих.

Для знаходження розв'язку можна використати метод елімінації або метод підстановки. Однак, спрощуватимемо цю систему рівнянь, розділивши обидва рівняння на 1:

1. 3x + 12y = -6
2. -1x - 4y = 2

Тепер, щоб знайти розв'язок системи рівнянь, можна використати метод елімінації:

Множимо перше рівняння на 4 і додаємо його до другого рівняння:

4(3x + 12y) + (-1x - 4y) = 4(-6) + 2 12x + 48y - x - 4y = -24 + 2 11x + 44y = -22

Тепер візьмемо перше рівняння і помножимо на -1, щоб ліквідувати змінну х:

-1(3x + 12y) = -1(-6) -3x - 12y = 6

Додамо це нове рівняння до останнього:

(-3x - 12y) + (11x + 44y) = 6 + (-22) 8x + 32y = -16

Тепер розділимо це останнє рівняння на 8:

8x + 32y = -16 (8x + 32y)/8 = -16/8 x + 4y = -2

Тепер у нас є система з двох рівнянь:

1. 11x + 44y = -22
2. x + 4y = -2

Ці рівняння є пропорційними одне одному (друге рівняння можна отримати, помноживши перше на 1/11). Це означає, що ці прямі лежать одна на одній і мають нескінченну кількість спільних розв'язків.

Отже, неоднорідна система рівнянь має нескінченну кількість розв'язків.