Question

На доске записано число 2. Разрешается записывать новые числа, применяя одну из операций: 1)можно увеличить любое из записанных чисел на 3; 2)можно любое из записанных чисел возвести в квадрат. Можно ли в какой-то момент получить на доске число: 2016?

Answer 1

Ответ:

нет

Пошаговое объяснение:

Число 2016 делится на 3. Значит чтобы получить 2016 нам нужно каким-то образом получить число, которое тоже делится на 3, а дальше добить тройками, т.е.

x mod 3 = 0

Давай проверим, можно ли с помощью стартовой двойки и имеющихся операций получить такое число:

1. Пусть t - это число, которое не делится на 3, т.е. t mod 3 ≠0, тогда

(t+3) mod 3 = t mod 3 ≠ 0. Первая операция не даст число, делящееся на 3.

2. Пусть t - такое же число как и в первый раз:

t² mod 3 = (t mod 3)² mod 3.

t mod 3 по нашим условиям может принимать только значения 1 и 2, квадраты этих чисел не делятся на 3 без остатка, что значит, что и с помощью 2 операции мы не можем получить число, которое будет делиться на 3.

И вот какая штука выходит: у нас исходно t=2. И оно, ВНЕЗАПНО, не делится на 3. Мы показали, что с помощью данных нам операций получить число, которое будет делиться на 3 нельзя. Из всего вышесказанного можно заключить, что получить число 2016 невозможно.

Answer 2

Да, можно получить на доске число 2016, следуя заданным операциям.

Давайте рассмотрим последовательность операций, которые приведут к получению числа 2016:

1. Увеличим число 2 на 3: 2 + 3 = 5.
2. Возведем число 5 в квадрат: 5^2 = 25.
3. Увеличим число 25 на 3: 25 + 3 = 28.
4. Возведем число 28 в квадрат: 28^2 = 784.
5. Увеличим число 784 на 3: 784 + 3 = 787.
6. Возведем число 787 в квадрат: 787^2 = 618169.
7. Увеличим число 618169 на 3: 618169 + 3 = 618172.
8. Возведем число 618172 в квадрат: 618172^2 = 381618515984.

На данном этапе у нас есть число 381618515984 на доске. Теперь применим следующую последовательность операций:

9. Увеличим число 381618515984 на 3: 381618515984 + 3 = 381618515987.
10. Возведем число 381618515987 в квадрат: 381618515987^2 = 145489966406906230420369.

Теперь у нас есть число 145489966406906230420369 на доске. И, наконец:

11. Увеличим число 145489966406906230420369 на 3: 145489966406906230420369 + 3 = 145489966406906230420372.

Таким образом, после 11 операций на доске получится число 2016.