Question

Найдите производную функции: 1) y=x+Inx 2) y=3^Inx

Answer 1

Ответ:

Ответ: 1) y' = ln x + 1; 2) y' = (1 – ln x) / x^2.

Answer 2

Давайте найдем производные данных функций по очереди:

1. Первая функция: $y = x + \ln x$

Для нахождения производной этой функции по $x$, мы воспользуемся правилами дифференцирования. Сначала найдем производную слагаемых по отдельности:

$\frac{d}{dx}(x) = 1$

$\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$

Теперь, используя правило суммы производных, получим производную всей функции:

$\frac{d}{dx}(y) = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(\ln x) = 1 + \frac{1}{x} = \frac{x + 1}{x}$

Итак, производная функции $y = x + \ln x$ равна $\frac{x + 1}{x}$.

2. Вторая функция: $y = 3^{\ln x}$

Здесь у нас есть составная функция, и для её дифференцирования потребуется применить правило дифференцирования сложной функции. Начнем с поиска производной внутренней функции $\ln x$:

$\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$

Теперь найдем производную всей составной функции, используя правило цепной дифференциации:

$\frac{d}{dx}(y) = \frac{d}{dx}(3^{\ln x}) = 3^{\ln x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{3^{\ln x}}{x}$

Здесь $3^{\ln x}$ означает $e^{\ln 3 \cdot \ln x}$, так как $a^{\ln x} = e^{\ln a \cdot \ln x}$, где $e$ - основание натурального логарифма.

Итак, производная функции $y = 3^{\ln x}$ равна $\frac{3^{\ln x}}{x}$.

Обратите внимание, что в обоих случаях я использовал свойство $a^{\ln x} = e^{\ln a \cdot \ln x}$, которое является следствием свойств экспоненциальных и логарифмических функций.