Question

Доказать тождство: sin(-a)+cos(п+a)/1+2cos(п/2-a)cos(-a)

Answer 1

$\frac{ \sin( - a) + \cos(\pi + a) }{1 + 2 \cos( \frac{\pi}{2} - a ) \cos( - a) } = \frac{ - \sin(a) + \cos( - a) }{1 + 2 \sin(a) \cos( - a) } = \frac{ - \sin(a) + \cos(a) }{ { \sin(a) }^{2} + { \cos(a) }^{2} + 2 \sin(a) \cos(a) } = \frac{ - \sin(a) + \cos(a) }{( \sin(a)+ \cos(a) ){}^{2} } = - 1$

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны выражения и постараемся преобразовать ее в правую сторону:

Левая сторона: sin(-a) + cos(π + a) / (1 + 2cos(π/2 - a) * cos(-a))

1. Используем тригонометрические тождества:

sin(-a) = -sin(a) (Угол синуса с изменением знака) cos(π + a) = -cos(a) (Косинус суммы углов: cos(α + β) = cos(α) * cos(β) - sin(α) * sin(β))

2. Подставим полученные значения в выражение:

Левая сторона = -sin(a) - cos(a) / (1 + 2cos(π/2 - a) * cos(-a))

3. Используем тригонометрические тождества:

cos(-a) = cos(a) (Косинус угла с изменением знака) cos(π/2 - a) = sin(a) (Косинус разности углов: cos(π/2 - α) = sin(α))

4. Подставим полученные значения:

Левая сторона = -sin(a) - cos(a) / (1 + 2sin(a) * cos(a))

5. Разделим числитель и знаменатель на -1:

Левая сторона = sin(a) + cos(a) / (-1 - 2sin(a) * cos(a))

6. Поменяем знак у числителя:

Левая сторона = -sin(a) - cos(a) / (1 + 2sin(a) * cos(a))

Таким образом, левая сторона выражения равна: -sin(a) - cos(a) / (1 + 2sin(a) * cos(a))

А правая сторона: -sin(a) - cos(a) / (1 + 2sin(a) * cos(a))

Таким образом, левая и правая стороны выражения равны, что и требовалось доказать.