Question

В равнобедренном треугольнике длина основания равна 24 см, а радиус вписанной окружности 4 см. Найдите длину боковой стороны.

Answer 1

Ответ:

15 см

решение смотри ниже

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте обозначим данное равнобедренное треугольник как ABC, где AB = AC = 24 см и I - центр вписанной окружности. Также, пусть BC - боковая сторона треугольника.

Мы знаем, что радиус вписанной окружности связан с площадью треугольника и полупериметром (s) следующим образом:

$r = \frac{A}{s},$

где r - радиус вписанной окружности, A - площадь треугольника, s - полупериметр треугольника.

Площадь треугольника можно выразить через радиус вписанной окружности и полупериметр:

$A = rs.$

Для равнобедренного треугольника можно также использовать формулу для высоты h, опущенной из вершины на основание:

$h = \sqrt{AB^2 - \left(\frac{BC}{2}\right)^2}.$

Заметим, что треугольник разбивается этой высотой на два прямоугольных треугольника.

Площадь треугольника также можно выразить через длину основания (b) и высоту (h):

$A = \frac{bh}{2}.$

Теперь мы можем соединить все уравнения и решить задачу:

1. Найдем площадь треугольника: $A = rs = 4 \cdot s.$

2. Найдем высоту треугольника: $h = \sqrt{AB^2 - \left(\frac{BC}{2}\right)^2} = \sqrt{24^2 - \left(\frac{BC}{2}\right)^2}.$

3. Подставим выражение для площади и площадь через основание и высоту: $4 \cdot s = \frac{BC \cdot h}{2}.$

4. Выразим полупериметр через основание и высоту: $s = \frac{BC + 24 + 24}{2} = \frac{BC + 48}{2}.$

5. Подставим это в уравнение площади: $4 \cdot \frac{BC + 48}{2} = \frac{BC \cdot h}{2}.$

6. Решим уравнение относительно BC: $2 \cdot (BC + 48) = BC \cdot h.$

7. Подставим выражение для h: $2 \cdot (BC + 48) = BC \cdot \sqrt{24^2 - \left(\frac{BC}{2}\right)^2}.$

8. Решим это уравнение численно. Подставим числа и найдем длину боковой стороны BC:

$2 \cdot (BC + 48) = BC \cdot \sqrt{24^2 - \left(\frac{BC}{2}\right)^2}.$

$2BC + 96 = BC \cdot \sqrt{576 - \frac{BC^2}{4}}.$

$4BC^2 + 384BC + 9216 = BC^2 \cdot (576 - \frac{BC^2}{4}).$

$4BC^2 + 384BC + 9216 = 576BC^2 - \frac{BC^4}{4}.$

$\frac{BC^4}{4} - 576BC^2 + 4BC^2 + 384BC + 9216 = 0.$

$BC^4 - 2304BC^2 + 1536BC + 36864 = 0.$

$(BC^2 - 144)^2 = -16.$