Question

Найдите производную функции tgx/x

Answer 1

((tgx)'*x-x'*tgx)/x²=(х/(cos²x)-tgx)/x²

Answer 2

Для нахождения производной функции $\frac{\tan x}{x}$ используем правило производной частного функций.

Правило производной частного: Если $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемые функции, то производная их частного $\frac{u(x)}{v(x)}$ равна

$\left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)' = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}.$

В нашем случае $u(x) = \tan x$ и $v(x) = x$.

Найдем производные:

$u'(x) = \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x$,

$v'(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1$.

Теперь подставим значения в формулу производной частного:

$\left( \frac{\tan x}{x} \right)' = \frac{\sec^2 x \cdot x - \tan x \cdot 1}{x^2}.$

Упростим выражение:

$\left( \frac{\tan x}{x} \right)' = \frac{x \sec^2 x - \tan x}{x^2}.$

Это и есть производная функции $\frac{\tan x}{x}$.