Question

Решить систему уравнений: 3^x + 2^y =9 3^x * 2^y = 14

Answer 1

Из первого уравнения вычислим 3^х:

3^x + 2^y =9

3^х=9-2^у

Подставим это значение во второе уравнение:

3^x * 2^y = 14

(9-2^у) × 2^y = 14

2^у=а

(9-а)а=14

9а-а²-14=0

а²-9а+14=0

а=2; а=7

1) 2^у=2 =>у=1

2) 2^у=7 =>y=log_2(7)

Подставим значения в 3^х:

3^х=9-2^у

1) 3^х=9-2¹ =х=log_3(7)

2) 3^x=9-2^log_2(7) =>х=log_3(2)

Ответ: (х1;у1)=(log_3(7); 1)

(x2;y2)=(log_3(2); log_2(7))

Answer 2

Давайте решим данную систему уравнений:

Первое уравнение: $3^x + 2^y = 9$ Второе уравнение: $3^x \cdot 2^y = 14$

Мы можем выразить одну из переменных через другую, подставить это значение во второе уравнение и решить для одной переменной.

Давайте выразим $2^y$ через $3^x$ из первого уравнения: $2^y = 9 - 3^x$

Теперь подставим это значение во второе уравнение: $3^x \cdot (9 - 3^x) = 14$

Распределение и упрощение: $3^x \cdot 9 - 3^{2x} = 14$ $9 \cdot 3^x - 3^{2x} = 14$

Перенесем все члены на одну сторону уравнения: $3^{2x} - 9 \cdot 3^x + 14 = 0$

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно переменной $3^x$: $3^{2x} - 9 \cdot 3^x + 14 = 0$

Давайте представим $3^x$ как переменную $t$: $t^2 - 9t + 14 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение: $(t - 7)(t - 2) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения $t$:

1. $t - 7 = 0 \Rightarrow t = 7$
2. $t - 2 = 0 \Rightarrow t = 2$

Теперь найдем соответствующие значения переменной $x$:

1. $3^x = 7 \Rightarrow x = \log_3 7$
2. $3^x = 2 \Rightarrow x = \log_3 2$

Таким образом, у нас есть два набора решений:

1. $x = \log_3 7$ и $y = \log_2 (9 - 3^x) = \log_2 (9 - 3^{\log_3 7})$
2. $x = \log_3 2$ и $y = \log_2 (9 - 3^x) = \log_2 (9 - 3^{\log_3 2})$

Вычисление конкретных численных значений требует использования калькулятора, так как логарифмы и степени вычисляются численно.