Question

Сократите дробь : a) a^2-2a/a^2-4a+4 б) a^2+5a+6/a^2-4

Answer 1

а)

$\frac{a^2-2a}{a^2-4a+4}$

Сначала разложим числитель на множители

$a^2-2a=a(a-2)$

Теперь раскладываем знаменатель на множители, для этого решаем квадратное уравнение

$a^2-4a+4=0\\D=16-16=0\\x=\frac{4}{2} =2$

Формула разложения многочлена на множителя через его корни.

$(x-x_1)(x-x_2)$

В данном случае мы имеем 1 корень, значит формула будет иметь вид

$(x-x_1)(x-x_1)\\\\(a-2)(a-2)$

Получаем дробь

$\frac{a(a-2)}{(a-2)^2} =\frac{a}{a-2}$, значит

$\frac{a^2-2a}{a^2-4a+4}=\frac{a(a-2)}{(a-2)^2} =\frac{a}{a-2}$

б)

$\frac{a^2+5a+6}{a^2-4}$

Сначала нужно решить квадратное уравнение, чтобы разложить числитель на множители

$a^2+5a+6=0\\D=25-24=1=1^2\\a_1=\frac{-5-1}{2} =-3\\a_2=\frac{-5+1}{2} =-2$

Формула разложения многочлена на множителя через его корни

$(x-x_1)(x-x_2)\\\\(a-(-3))(a-(-2))=(a+3)(a+2)$

теперь разложим числитель на множители

$a^2-4=(a-2)(a+2)$

получаем дробь

$\frac{(a+3)(a+2)}{(a-2)(a+2)} =\frac{a+3}{a-2}$, значит

$\frac{a^2+5a+6}{a^2-4}=\frac{(a+3)(a+2)}{(a-2)(a+2)} =\frac{a+3}{a-2}$

Answer 2

Для сокращения дробей необходимо выделить общие множители в числителе и знаменателе и потом сократить их. Применим это к данным дробям:

а) Дробь: (a^2 - 2a) / (a^2 - 4a + 4)

Числитель: a^2 - 2a Знаменатель: a^2 - 4a + 4

Обратите внимание, что числитель и знаменатель являются квадратными выражениями, и знаменатель можно представить в виде квадрата суммы (a - 2)^2.

Теперь перепишем дробь:

(a^2 - 2a) / (a^2 - 4a + 4) = a(a - 2) / (a - 2)^2

Теперь в числителе и знаменателе есть общий множитель (a - 2), и его можно сократить:

(a^2 - 2a) / (a^2 - 4a + 4) = a / (a - 2)

б) Дробь: (a^2 + 5a + 6) / (a^2 - 4)

Числитель: a^2 + 5a + 6 Знаменатель: a^2 - 4

Здесь числитель и знаменатель не имеют общих множителей, которые можно сократить. Поэтому данная дробь не может быть дальше упрощена. Она остается такой же:

(a^2 + 5a + 6) / (a^2 - 4)