Question

Об’єм кулі зменшився у 64 рази. У скільки разів зменшилася площа її поверхні?

Answer 1

Из формулы $V=\frac{4}{3}\pi R^3$ следует, что объем шара прямо пропорционален кубу радиуса. Объем шара уменьшится в 64 раза, если в 64 раза уменьшить куб радиуса, т.е. сам радиус нужно уменьшить в 4 раза (так как $4^3=64$)

Из формулы $S=4\pi R^2$ следует, что площадь поверхности шара прямо пропорциональна квадрату радиуса. Если радиус уменьшился в 4 раза, то площадь поверхности уменьшится в $4^2=16$ раз.

ОТВЕТ: в 16 раз.

Answer 2

Об'єм кулі зменшився у 64 рази. Припустимо, що початковий об'єм кулі був V, а новий об'єм становить 1/64V.

Об'єм кулі виражається формулою V = (4/3)πr³, де r - радіус кулі.

Тому, початковий радіус кулі можна виразити як r = ((3V)/(4π))^(1/3).

Знову позначимо новий радіус як R'. Тоді новий об'єм кулі виражається як (4/3)π(R')³.

Ми знаємо, що новий об'єм кулі становить 1/64V, тому ми можемо записати:

(4/3)π(R')³ = (1/64V)

Застосуємо попереднє вираження для r, щоб замінити V:

(4/3)π(R')³ = (1/64)((3V)/(4π))^(1/3)

Спростимо це вираз:

(R')³ = (1/64)((3V)/(4π))^(1/3) * (3/4π)

(R')³ = (1/64)((27V)/(64π²))^(1/3)

(R')³ = ((27V)/(4π³))^(1/3)

Зведемо це до кубу:

R' = ((27V)/(4π³))^(1/9)

Тепер ми маємо співвідношення між початковим радіусом r і новим радіусом R'. Щоб знайти, у скільки разів зменшилася площа поверхні, поділимо квадрат нового радіуса на квадрат початкового радіуса:

(R')² / r² = (((27V)/(4π³))^(1/9))² / r²

(R')² / r² = ((27V)/(4π³))^(2/9) / r²

(R')² / r² = ((27V)/(4π³))^(2/9) * (4π³/27V)

(R')² / r² = (4π³/27V)

(R')² / r² = 4π³/27V

Отже, площа поверхні нової кулі становить 4π³/27 раз площу поверхні початкової кулі.

Таким чином, площа поверхні зменшилася у 4π³/27 разів.