Question

Помогите решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными (3+е^х)уу’=е^х

Answer 1

Конечно, я помогу вам решить это дифференциальное уравнение. Давайте начнем.

Исходное уравнение: (3 + e^x) * y * y' = e^x

Для начала давайте разделим переменные, переместив все члены с y и y' на одну сторону уравнения, а член с e^x на другую сторону: y * y' / y = e^x / (3 + e^x)

Теперь интегрируем обе стороны уравнения. Левая сторона будет интегралом от произведения y и y': ∫(y * y' / y) dy = ∫(e^x / (3 + e^x)) dx

Интегрирование левой стороны даст нам: ∫(y * y' / y) dy = ∫dy = ln|y| + C1

Где C1 - это произвольная постоянная интегрирования.

Теперь интегрируем правую сторону: ∫(e^x / (3 + e^x)) dx = ∫(1 - 3 / (3 + e^x)) dx

Для интегрирования ∫(1 - 3 / (3 + e^x)) dx можно сделать замену переменной u = 3 + e^x, тогда du = e^x dx: ∫(1 - 3 / u) du = u - 3ln|u| + C2

Где C2 - это еще одна произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, наше исходное дифференциальное уравнение приводится к следующему виду: ln|y| + C1 = 3 + e^x - 3ln|3 + e^x| + C2

С учетом произвольных постоянных C1 и C2, уравнение можно переписать в более компактной форме: ln|y| = 3 + e^x - 3ln|3 + e^x| + C

Где C = C2 - C1 также является произвольной постоянной.

И последний шаг - избавиться от логарифма, возведя обе стороны уравнения в экспоненту: |y| = e^(3 + e^x - 3ln|3 + e^x| + C)

Теперь можно рассмотреть два случая, в зависимости от знака абсолютной величины y:

1. y > 0: y = e^(3 + e^x - 3ln|3 + e^x| + C)
2. y < 0: y = -e^(3 + e^x - 3ln|3 + e^x| + C)

Это общее решение дифференциального уравнения.