Question

ЕГЭ по профильной математике 13 задание 4cos^2x+2(√2-1)sin(π/2-x)-√2=0 помогите решить

Answer 1

$4 \cos^{2} (x) + 2( \sqrt{2} - 1) \sin( \frac{\pi}{2} - x) - \sqrt{2} = 0 \\ 4 \cos^{2} (x) + 2( \sqrt{2} - 1) \cos(x) - \sqrt{2} = 0 \\ \cos(x) = t \\ 4 {t}^{2} + 2( \sqrt{2} - 1)t - \sqrt{2} = 0 \\ D = (2 (\sqrt{2} - 1)) ^{2} + 4 \times 4 \sqrt{2} = 4(2 - 2 \sqrt{2} + 1) + \\ + 16 \sqrt{2} = 8 - 8 \sqrt{2} + 4 + 16 \sqrt{2} = 8 + 8 \sqrt{2} + 4 = \\ = (2 + 2 \sqrt{2} )^{2} \\ t_{1} = \frac{ - 2\sqrt{2} + 2 - 2 - 2 \sqrt{2} }{8} = - \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ t_{2} = \frac{ - 2 \sqrt{2} + 2 + 2 + 2 \sqrt{2} }{8} = \frac{1}{2}$

$1) \cos(x) = - \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \\ x = \frac{5\pi}{4} + \pi n, \: n \in \mathbb Z$

$2) \cos(x) = \frac{1}{2} \\ x = ± \frac{\pi}{3} + 2\pi m, \: m \in \mathbb Z$

Answer 2

Для решения уравнения 4cos^2x+2(√2-1)sin(π/2-x)-√2=0, мы можем воспользоваться несколькими тригонометрическими идентичностями.

Начнем с того, что заметим, что в данном уравнении присутствуют как синус, так и косинус, поэтому нам потребуется их комбинировать.

1. Используем идентичность sin(π/2 - x) = cos(x): 4cos^2x + 2(√2 - 1)cos(x) - √2 = 0

2. Обозначим cos(x) за t: 4t^2 + 2(√2 - 1)t - √2 = 0

3. Уравнение теперь является квадратным уравнением относительно t. Можем решить его, применив квадратное уравнение.

Используя формулу для решения квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0, где a = 4, b = 2(√2 - 1), и c = -√2, получаем:

t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

t = (-(2(√2 - 1)) ± √((2(√2 - 1))^2 - 4(4)(-√2))) / (2(4))

t = (-2√2 + 2 ± √(8(√2 - 1)^2 + 16√2)) / 8

t = (-2√2 + 2 ± √(8(2 - 2√2 + 1) + 16√2)) / 8

t = (-2√2 + 2 ± √(16 - 16√2 + 8 + 16√2)) / 8

t = (-2√2 + 2 ± √(24)) / 8

t = (-2√2 + 2 ± 2√6) / 8

4. Теперь, когда мы найдем значения t, мы можем найти значения cos(x). Для этого заменим t обратно на cos(x):

cos(x) = (-2√2 + 2 ± 2√6) / 8

5. Чтобы найти значения x, найдем обратный косинус (арккосинус) от обоих значений cos(x):

x = arccos((-2√2 + 2 ± 2√6) / 8)

Таким образом, решением исходного уравнения являются значения x, найденные по формуле x = arccos((-2√2 + 2 ± 2√6) / 8).