Question

1.Найти неопределенные интегралы. ∫(x^2+ln(x^2))/x

Answer 1

$\int \frac{ {x}^{2} + ln( {x}^{2} ) }{x} dx = \frac{1}{2} \int \frac{t + ln(t) }{t}dt =\\ {x}^{2} = t, \: dx = \frac{1}{2x} dt \\ = \frac{1}{2} \int1dt + \frac{1}{2}\int\frac{ ln(t) }{t} dt = \frac{t}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{ ln(t) }{t} dt = \\ ln(t) = u, \: dt = tdu \\ = \frac{t}{2} + \frac{1}{2} \int udu = \frac{t}{2} + \frac{ {u}^{2} }{4} = \frac{ {x}^{2} }{2} + ln^{2} (x) + C$

Answer 2

Для нахождения неопределенного интеграла ∫(x^2 + ln(x^2))/x необходимо разбить выражение на два члена и интегрировать их по отдельности. Давайте рассмотрим каждый из них по очереди.

∫(x^2)/x dx:

Разделим x^2 на x: ∫(x^2)/x dx = ∫x dx

Интегрируем: ∫x dx = (1/2)x^2 + C1,

где C1 - произвольная постоянная.

Теперь рассмотрим второй член.

∫ln(x^2)/x dx:

Мы можем разделить ln(x^2) на x: ∫ln(x^2)/x dx = ∫(2ln(x))/x dx

Проведем замену переменной: u = ln(x). Тогда du = (1/x)dx.

Заменим переменные: ∫(2ln(x))/x dx = 2∫u du

Интегрируем: 2∫u du = 2(u^2/2) + C2 = u^2 + C2,

где C2 - произвольная постоянная.

Возвращаясь к исходному выражению, получаем: ∫(x^2 + ln(x^2))/x dx = (1/2)x^2 + ln(x^2) + C,

где C = C1 + C2 - произвольная постоянная.

Таким образом, неопределенный интеграл ∫(x^2 + ln(x^2))/x dx равен (1/2)x^2 + ln(x^2) + C, где C - произвольная постоянная.