Question

Найти неопределенные интегралы, используя замену переменных и интегрирование по частям: 12) ∫12e^3x sin⁡4x dx, Найти неопределенные интегралы от тригонометрических функций: 17) ∫〖sin^2⁡x/(〖3sin^2⁡x-cos^2⁡x ) dx〗

Answer 1

Пошаговое объяснение:

12.

$\overbrace{\int {12e^{3x}\sin4x} \, dx }^{I}=\begin{Vmatrix} u=12e^{3x}&du=36e^{3x}dx\\dv=\sin4xdx&v=-\frac{1}{4}\cos4x \end{Vmatrix}=uv-\int {v} \, du=\\-3e^{3x}\cos4x+\int {9e^{3x}\cos4x} \, dx=\begin{Vmatrix} u=9e^{3x}&du=27e^{3x}dx\\dv=\cos4x&v=\frac{1}{4}\sin4x \end{Vmatrix} =\\-3e^{3x}\cos4x+\frac{9}{4}e^{3x}\sin4x-\int {\frac{27}{4}e^{3x}\sin4x } \, dx=$

$-3e^{3x}\cos4x+\frac{9}{4}e^{3x}\sin4x-\frac{27}{48} \underbrace{\int {12e^{3x}\sin4x } \, dx}_{I}\\\frac{25}{16}I=-3e^{3x}\cos4x+\frac{9}{4}e^{3x}\sin4x+C\\\\I=-\frac{48}{25}e^{3x}\cos4x+\frac{36}{25}e^{3x}\sin4x+C$

17.

$\int {\frac{\sin^2x}{3\sin^2x-\cos^2x} } \, dx=\begin{Vmatrix} t=\rm tg \; x, \; x=\rm arctg \; t\\\sin x=\frac{t}{\sqrt{1+t^2} }, \; \cos x=\frac{1}{\sqrt{1+t^2} }\\dx=\frac{dt}{1+t^2} \end{Vmatrix} =\int {\frac{\frac{t^2}{1+t^2} }{3\frac{t^2}{1+t^2}-\frac{1}{1+t^2} } *} \, \frac{dt}{1+t^2} =\\\int {\frac{\frac{t^2}{1+t^2} }{\frac{3t^2-1}{1+t^2} } *} \, \frac{dt}{1+t^2}=\int {\frac{t^2(1+t^2)}{(1+t^2)^2(3t^2-1)} } \, dt =\int {\frac{t^2}{(1+t^2)(3t^2-1)} } \, dt =$

Разложим дробь на сумму простейших:

$\frac{t^2}{(1+t^2)(3t^2-1)}=\frac{At+B}{1+t^2} +\frac{Ct+D}{3t^2-1}\\t^2=(At+B)(3t^2-1)+(Ct+D)(1+t^2)\\t^2=3At^3-At+3Bt^2-B+Ct+Ct^3+D+Dt^2\\t^2=(3A+C)t^3+(3B+D)t^2+(-A+C)t+(-B+D)\\ \begin{cases} 3A+C=0\\3B+D=1\\C-A=0\\D-B=0 \end{cases}\\A=C\; \Rightarrow\; 3A+A=0, \; 4A=0, \; A=C=0\\B=D\; \Rightarrow\; 3B+B=1=1, \; 4B=1, \; B=D=\frac{1}{4}$

$=\int {\big(\frac{1}{4}*\frac{1}{1+t^2}+\frac{1}{4}*\frac{1}{3t^2-1}\big) } \, dt=\frac{1}{4}\int {\frac{dt}{1+t^2} } \, +\frac{1}{4}\int {\frac{dt}{(t\sqrt{3}) ^2-1^2} } \,=\\\frac{1}{4}\int {\frac{dt}{1+t^2} } \, +\frac{1}{4\sqrt{3} }\int {\frac{dt\sqrt{3} }{(t\sqrt{3}) ^2-1^2} } \,=\frac{1}{4}\int {\frac{dt}{1+t^2} } \, +\frac{1}{4\sqrt{3} }\int {\frac{d(t\sqrt{3}) }{(t\sqrt{3}) ^2-1^2} } \,=$

$\frac{1}{4}\rm arctg \; t +\frac{1}{4\sqrt{3} }*\frac{1}{2} \ ln \big|\frac{t\sqrt{3}-1 }{t\sqrt{3}+1 } \big|+C=\frac{1}{4}\rm arctg \; (\rm tg\;x) +\\\frac{1}{8\sqrt{3} }\ ln \big|\frac{\sqrt{3}\rm tg\; x-1 }{\sqrt{3}\rm tg\; x+1 } \big|+C=\frac{x}{4}+\frac{1}{8\sqrt{3} }\ ln \big|\frac{\sqrt{3}\rm tg\; x-1 }{\sqrt{3}\rm tg\; x+1 } \big|+C$

Answer 2

12. Для нахождения интеграла ∫12e^3x sin^4x dx, мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям. Этот метод требует выбора двух функций для интегрирования и дифференцирования. Обычно выбирают одну функцию, которая упрощает свою производную, и другую функцию, которая упрощает свой интеграл. В данном случае давайте выберем:

u = sin^3x => du = 3sin^2x cosx dx dv = 4e^3x sinx dx => v = -4/3e^3x cosx

Теперь мы можем применить метод интегрирования по частям, который гласит:

∫u dv = uv - ∫v du

Подставим наши значения:

∫12e^3x sin^4x dx = -4/3e^3x sin^3x - ∫(-4/3e^3x cosx) (3sin^2x cosx dx)

Сократим 3 и -4/3:

= -4e^3x sin^3x + ∫4e^3x cosx sin^2x dx

Теперь мы можем снова воспользоваться интегрированием по частям:

u = sin^2x => du = 2sinx cosx dx dv = 4e^3x cosx dx => v = 4/3e^3x sinx

Применяем метод интегрирования по частям:

∫4e^3x cosx sin^2x dx = (4/3e^3x sinx sin^2x) - ∫(4/3e^3x sinx)(2sinx cosx dx)

= (4/3e^3x sinx sin^2x) - (8/3 ∫e^3x sinx cosx dx)

Теперь у нас есть интеграл ∫e^3x sinx cosx dx, который можно найти методом интегрирования по частям снова. Мы можем продолжать делать это, пока интегралы не станут более простыми.

В итоге получаем:

∫12e^3x sin^4x dx = -4e^3x sin^3x + (4/3e^3x sinx sin^2x) - (8/3 ∫e^3x sinx cosx dx)

Теперь мы можем рассмотреть интеграл ∫e^3x sinx cosx dx отдельно и продолжить интегрирование по частям.

17. Для интеграла ∫sin^2x / (3sin^2x - cos^2x) dx, мы можем воспользоваться тригонометрической заменой. Подставим тригонометрическое выражение для sin^2x и cos^2x:

sin^2x = 1 - cos^2x

Теперь интеграл становится:

∫(1 - cos^2x) / (3(1 - cos^2x) - cos^2x) dx

Упростим выражение в знаменателе:

∫(1 - cos^2x) / (3 - 2cos^2x) dx

Теперь проведем замену переменной:

u = cosx, du = -sinx dx

Интеграл становится:

-∫(1 - u^2) / (3 - 2u^2) du

Далее, разложим числитель:

-∫(1 - u^2) / (3 - 2u^2) du = -∫(1/ (3 - 2u^2) - u^2 / (3 - 2u^2)) du

Теперь интегрируем каждое слагаемое по отдельности. Первое слагаемое можно интегрировать с помощью арктангенса, а второе слагаемое - с помощью обычной подстановки.

Получим:

-(-1/√6) arctan(√2u/√3) + (1/√2) ln|u + √3/√2| + C

Теперь возвращаемся к исходной переменной:

-(-1/√6) arctan(√2cosx/√3) + (1/√2) ln|cosx + √3/√2| + C

Это и есть неопределенный интеграл заданной функции.