Question

Помогите решить уравнение sin x/2-cos x/2=1

Answer 1

Ответ:x=2π + 4πk, k∈Z.

x=π+4πn, n∈Z.

Пошаговое объяснение:

Применяем формулы двойного угла:

sin(x/2)=2sin(x/4)•cos(x/4) и

cos(x/2)=cos²(x/4)–sin²(x/4).

Заменим

1=cos²(x/4)+sin²(x/4)

Уравнение принимает вид

2sin(x/4)•cos(x/4)–2cos²(x/4)=0

2cos(x/4)•(sin(x/4)–cos(x/4))=0

cos(x/4)=0 или sin(x/4)–cos(x/4)=0

Первое уравнение дает ответ:

x/4= π/2 + πk, k∈Z;

x=2π + 4πk, k∈Z.

Второе уравнение дает ответ

tg(x/4)=1

x/4=π/4 + πk, k∈Z;

x=π+4πn, n∈Z.

О т в е т. x=2π + 4πk, k∈Z.

x=π+4πn, n∈Z.

Answer 2

Для решения уравнения $\sin{\frac{x}{2}} - \cos{\frac{x}{2}} = 1$ сначала преобразуем его, чтобы получить углы синусов и косинусов на одной стороне уравнения. Для этого воспользуемся формулами сложения и вычитания тригонометрических функций.

1. Начнем с формулы синуса суммы углов: $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$.

2. Положим $A = \frac{x}{2}$ и $B = -\frac{x}{2}$.

3. Подставим значения в формулу: $\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{x}{2}\right) = \sin 0 = 0$.

Теперь уравнение стало проще:

$0 - \cos{\frac{x}{2}} = 1$

Теперь выразим $\cos{\frac{x}{2}}$:

$\cos{\frac{x}{2}} = -1$

Находим обратный косинус (арккосинус) от -1:

$\frac{x}{2} = \arccos(-1) = \pi$

Теперь найдем все решения уравнения для $x$:

$x = 2 \pi$

Таким образом, уравнение $\sin{\frac{x}{2}} - \cos{\frac{x}{2}} = 1$ имеет единственное решение $x = 2 \pi$.