Question

У'' − у′ = sin + 2cosx Найти общее решение дифференциального уравнения.Помогите пожалуйста срочно

Answer 1

$y''-y'=sinx+2cosx\\\\\\1)\; \; y''-y'=0\; \; ,\; \; \; k^2-k=0\; ,\; \; k\, (k-1)=0\; ,\; \; k_1=0\; ,\; k_2=1\\\\y_{oo}=C_1e^{0\cdot x}+C_1e^{x}=C_1+C_2e^{x}\\\\\\2)\; \; \widetilde{y}=Asinx+Bcosx\\\\\widetilde{y}\, '=Acosx-Bsinx\\\\\widetilde{y}\, ''=-Asinx-Bcosx\\\\\\\widetilde{y}\, ''-\widetilde{y}\, '=(-Asinx-Bcosx)-(Asinx+Bcosx)=-2Asinx-2Bcosx\\\\-2Asinx-2Bcosx=sinx+2cosx\\\\sinx\; \Big|\; -2A=-1\; \; ,\; \; A=\frac{1}{2}\\\\cosx\; \Big |\; -2B=2\; ,\; \; B=-1\\\\\widetilde{y}=\frac{1}{2}sinx-cosx$

$y=y_{oo}+\widetilde {y}\; \; ,\; \; \; \boxed {\; y=C_1+C_2e^{x}+\frac{1}{2}\, sinx-cosx\; }$

Answer 2

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение, мы можем использовать метод вариации постоянных.

Шаг 1: Найдём общее решение однородного уравнения: У'' - у' = 0.

Характеристическое уравнение для этого однородного уравнения имеет вид: r^2 - r = 0.

Факторизуем его: r(r - 1) = 0.

Отсюда получаем два корня: r1 = 0 и r2 = 1.

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид: у(с) = c1 * e^0x + c2 * e^1x.

Упрощая это выражение, получаем: у(с) = c1 + c2 * e^x.

Шаг 2: Теперь найдём частное решение неоднородного уравнения.

Уравнение имеет вид: У'' - у' = sin(x) + 2cos(x).

Предположим, что частное решение имеет вид: у(ч) = a * sin(x) + b * cos(x).

Вычислим производные: у'(ч) = a * cos(x) - b * sin(x), у''(ч) = -a * sin(x) - b * cos(x).

Подставим полученные значения в исходное уравнение: (-a * sin(x) - b * cos(x)) - (a * cos(x) - b * sin(x)) = sin(x) + 2cos(x).

Упрощая, получаем: -2a * sin(x) - 2b * cos(x) = sin(x) + 2cos(x).

Сравнивая коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях, получаем следующую систему уравнений: -2a = 1, -2b = 2.

Решая данную систему, получаем: a = -1/2 и b = -1.

Таким образом, частное решение имеет вид: у(ч) = (-1/2) * sin(x) - cos(x).

Шаг 3: Общее решение неоднородного уравнения составляется путём сложения общего решения однородного уравнения (у(с)) и частного решения неоднородного уравнения (у(ч)): у(общ) = у(с) + у(ч).

Подставляя значения, получаем окончательный ответ: у(общ) = c1 + c2 * e^x - (1/2) * sin(x) - cos(x).